Упр.122 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) х^2 — 2(а — 6)х — 2а^2 — 2а + 33 > 0;
2)-1/6^х2 — 4ах — 18а^2 — 24 < = 0;
3) ах^2 + 6х + За - 6 < 0;
4) (а^2 - 1)х^2 + 2(1 - а)х + 2 > = 0.
$$x^2-2(a-6)x-2a^2-2a+33>0.$$
Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы его ветви были направлены вверх и дискриминант был отрицателен:
$$D=[-2(a-6)]^2-4\cdot 1\cdot(-2a^2-2a+33)$$
$$D=4(a-6)^2+8a^2+8a-132=12a^2-40a+12.$$
Тогда
$$12a^2-40a+12<0,$$
$$3a^2-10a+3<0.$$
Найдём корни:
$$D_1=100-36=64,$$
$$a_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}, \quad a_1=\frac13,\ a_2=3.$$
Следовательно,
$$\frac13<a<3.$$
$$-\frac16x^2-4ax-18a^2-24\le 0.$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ достаточно, чтобы ветви параболы были направлены вниз и дискриминант был не положителен:
$$D=(-4a)^2-4\cdot\left(-\frac16\right)\cdot(-18a^2-24)$$
$$D=16a^2-4\cdot\frac16(18a^2+24)=16a^2-(12a^2+16)=4a^2-16.$$
Тогда
$$4a^2-16\le 0,$$
$$a^2-4\le 0,$$
$$-2\le a\le 2.$$
$$ax^2+6x+3a-6<0.$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, а дискриминант — отрицателен:
$$D=6^2-4a(3a-6)=36-12a^2+24a.$$
Тогда
$$36-12a^2+24a<0,$$
$$a^2-2a-3>0.$$
Разложим на множители:
$$a^2-2a-3=(a+1)(a-3).$$
Получаем
$$a<-1 \text{ или } a>3.$$
Но ветви параболы направлены вниз, значит
$$a<0.$$
Пересечение условий:
$$a<-1.$$
$$\left(a^2-1\right)x^2+2(1-a)x+2\ge 0.$$
Рассмотрим дискриминант как квадратного трёхчлена по $$x$$:
$$D=[2(1-a)]^2-4(a^2-1)\cdot 2$$
$$D=4(1-2a+a^2)-8(a^2-1)=-4a^2-8a+12.$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех $$x$$, нужно:
$$-4a^2-8a+12\le 0,$$
$$a^2+2a-3\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$a^2+2a-3=(a+3)(a-1).$$
Тогда
$$a\le -3 \text{ или } a\ge 1.$$
Кроме того, ветви параболы должны быть направлены вверх:
$$a^2-1>0,$$
$$a<-1 \text{ или } a>1.$$
Пересечение условий даёт:
$$a\le -3 \text{ или } a>1.$$
Ответ
1) $$a\in\left(\frac13;3\right);$$ 2) $$a\in[-2;2];$$ 3) $$a<-1;$$ 4) $$a\in(-\infty;-3]\cup(1;+\infty).$$
