Упр.122 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2-2(a+1)x+2a^2-a+1 > 0;
2)- 1/2 x^2-2ax+8a^2-4a < =0;
3) ax^2+8x-a+10 > 0;
4) (4-a^2 ) x^2+2(a-2)x+1 < =0;
$$x^2-2(a+1)x+2a^2-a+1>0$$
Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех действительных $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы его ветви были направлены вверх и дискриминант был отрицательным:
$$D=[-2(a+1)]^2-4(2a^2-a+1)=4(a+1)^2-8a^2+4a-4=12a-4a^2.$$
Тогда
$$12a-4a^2<0$$
$$a(3-a)<0,$$
откуда
$$a<0 \text{ или } a>3.$$
$$-\frac12x^2-2ax+8a^2-4a\le 0$$
Здесь ветви параболы направлены вниз, поэтому неравенство будет выполняться при всех $$x$$, если дискриминант не положителен:
$$D=(-2a)^2-4\left(-\frac12\right)(8a^2-4a)=4a^2+16a^2-8a=20a^2-8a.$$
Тогда
$$20a^2-8a\le 0$$
$$4a(5a-2)\le 0,$$
откуда
$$0\le a\le \frac25.$$
$$ax^2+8x-a+10>0$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных $$x$$, нужно, чтобы ветви параболы были направлены вверх и дискриминант был отрицательным:
$$D=8^2-4a(10-a)=64-40a+4a^2.$$
Получаем
$$4a^2-40a+64<0$$
$$a^2-10a+16<0$$
$$ (a-2)(a-8)<0,$$
откуда
$$2<a<8.$$
Так как ветви направлены вверх, то $$a>0$$, что уже выполнено на найденном промежутке.
$$\left(4-a^2\right)x^2+2(a-2)x+1\le 0$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы ветви были направлены вниз и дискриминант не был положительным.
Вычислим дискриминант:
$$D=[2(a-2)]^2-4(4-a^2)=4(a-2)^2-16+4a^2=8a^2-16a.$$
Тогда
$$8a^2-16a\le 0$$
$$a(a-2)\le 0,$$
откуда
$$0\le a\le 2.$$
Но ветви параболы направлены вниз только при
$$4-a^2<0,$$
то есть при
$$a<-2 \text{ или } a>2.$$
Пересечения с $$0\le a\le 2$$ нет, значит решений нет.
Ответ
1) $$a\in(-\infty;0)\cup(3;+\infty)$$;
2) $$a\in\left[0;\frac25\right]$$;
3) $$a\in(2;8)$$;
4) $$\varnothing$$.
