Упр.122 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2+2(a-1)x+4-a-a^2 > 0;
2) — 1/3 x^2+3ax-6a^2-12 < =0;
3) ax^2-4x+a+3 < 0;
4) (9-a^2 ) x^2+2(a+3)x+1 > =0;
$$x^2+2(a-1)x+4-a-a^2>0$$
Чтобы квадратный трёхчлен был положительным при всех действительных $$x$$, достаточно и необходимо, чтобы его ветви были направлены вверх и дискриминант был отрицательным:
$$D=4(a-1)^2-4(4-a-a^2)=8a^2-4a-12.$$
Тогда
$$8a^2-4a-12<0,$$
$$2a^2-a-3<0,$$
$$D_1=1+24=25,$$
$$a_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}:\quad a_1=-1,\ a_2=\frac32.$$
Следовательно,
$$-1<a<\frac32.$$
$$-\frac13x^2+3ax-6a^2-12\le 0$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы дискриминант был не положителен:
$$D=(3a)^2-4\cdot\left(-\frac13\right)(-6a^2-12)=a^2-16.$$
Тогда
$$a^2-16\le 0,$$
$$-4\le a\le 4.$$
$$ax^2-4x+a+3<0$$
Чтобы неравенство было верно при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, а дискриминант — отрицательным:
$$D=(-4)^2-4a(a+3)=16-4a^2-12a.$$
Тогда
$$16-4a^2-12a<0,$$
$$a^2+3a-4>0,$$
$$D_1=9+16=25,$$
$$a_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}:\quad a_1=-4,\ a_2=1.$$
Отсюда
$$a<-4 \ \text{или}\ a>1.$$
Но ветви параболы направлены вниз только при $$a<0$$, значит
$$a<-4.$$
$$\left(9-a^2\right)x^2+2(a+3)x+1\ge 0$$
Для выполнения неравенства при всех $$x$$ нужно, чтобы ветви были направлены вверх и дискриминант был не положителен:
$$D=4(a+3)^2-4(9-a^2)=8a^2+24a.$$
Тогда
$$8a^2+24a\le 0,$$
$$a^2+3a\le 0,$$
$$a(a+3)\le 0,$$
$$-3\le a\le 0.$$
Кроме того,
$$9-a^2>0,$$
$$-3<a<3.$$
Пересечение условий:
$$-3\le a\le 0.$$
Ответ
1) $$a\in\left(-1;\frac32\right)$$; 2) $$a\in[-4;4]$$; 3) $$a<-4$$; 4) $$a\in[-3;0]$$.
