Упр.121 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) x^2-bx+2b-3=0;
2) bx^2+(2b-1)x+b=0;
3) (1-2b) x^2+2(2b+1)x+6b-2=0;
4) (2b+10) x^2+(b-10)x-b+4=0;
$$x^2-bx+2b-3=0$$
Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно
$$D>0.$$
$$D=b^2-4(2b-3)=b^2-8b+12.$$
$$b^2-8b+12>0$$
$$\left(b-2\right)\left(b-6\right)>0.$$
Отсюда
$$b<2 \text{ или } b>6.$$
$$bx^2+(2b-1)x+b=0$$
Если $$b\neq 0,$$ то это квадратное уравнение. Его дискриминант:
$$D=(2b-1)^2-4b\cdot b=4b^2-4b+1-4b^2=1-4b.$$
Для двух различных корней нужно
$$1-4b>0,$$
$$b<\frac14.$$
При $$b=0$$ уравнение становится линейным, поэтому два корня не имеет.
$$\left(1-2b\right)x^2+2(2b+1)x+6b-2=0$$
Если $$1-2b\neq 0,$$ то
$$D=\left(2(2b+1)\right)^2-4(1-2b)(6b-2).$$
$$D=4(2b+1)^2-4(1-2b)(6b-2)=64b^2-24b+12.$$
Проверим знак:
$$64b^2-24b+12=4(16b^2-6b+3).$$
Для квадратного трёхчлена $$16b^2-6b+3$$ дискриминант
$$D_1=(-6)^2-4\cdot 16\cdot 3=36-192=-156<0,$$
а старший коэффициент положителен, значит
$$16b^2-6b+3>0$$
при всех $$b.$$ Следовательно, $$D>0$$ для всех $$b,$$ кроме случая, когда уравнение становится линейным:
$$1-2b=0,\quad b=\frac12.$$
При $$b=\frac12$$ два различных корня отсутствуют.
$$\left(2b+10\right)x^2+(b-10)x-b+4=0$$
Если $$2b+10\neq 0,$$ то
$$D=(b-10)^2-4(2b+10)(4-b).$$
$$D=b^2-20b+100-4(8b-2b^2+40-10b)=9b^2-12b-60.$$
Требуем
$$9b^2-12b-60>0.$$
$$3b^2-4b-20>0.$$
Найдём корни уравнения $$3b^2-4b-20=0$$:
$$D_1=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-20)=16+240=256,$$
$$b_1=\frac{4-16}{6}=-2,\qquad b_2=\frac{4+16}{6}=\frac{10}{3}.$$
Тогда
$$\left(b+2\right)\left(b-\frac{10}{3}\right)>0,$$
откуда
$$b<-2 \text{ или } b>\frac{10}{3}.$$
При $$2b+10=0,$$ то есть $$b=-5,$$ уравнение становится линейным, поэтому два различных корня не имеет.
Ответ
1) $$b\in(-\infty;2)\cup(6;+\infty).$$
2) $$b\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac14\right).$$
3) $$b\in\mathbb{R}\setminus\left\{\frac12\right\}.$$
4) $$b\in(-\infty;-5)\cup(-5;-2)\cup\left(\frac{10}{3};+\infty\right).$$
