Упр.121 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) x^2-4bx+3b+1=0;
2) bx^2-(3b+1)x+b=0;
3) (b-1) x^2-2(b+1)x-3b+2=0;
4) (3b-2) x^2-(5b+2)x+5b-1=0;

1. $$x^2-4bx+3b+1=0$$

   Чтобы уравнение имело два различных действительных корня, нужно $$D>0$$:

   $$D=( -4b)^2-4\cdot 1\cdot(3b+1)=16b^2-12b-4.$$

   $$16b^2-12b-4>0$$

   $$4b^2-3b-1>0$$

   $$4b^2-3b-1=(4b+1)(b-1).$$

   Тогда

   $$b<-\frac14 \text{ или } b>1.$$

2. $$bx^2-(3b+1)x+b=0$$

   Если $$b=0$$, уравнение становится линейным, поэтому два различных корня оно не имеет. Значит, $$b\neq 0$$.

   Найдём дискриминант:

   $$D=(3b+1)^2-4\cdot b\cdot b=9b^2+6b+1-4b^2=5b^2+6b+1.$$

   Для двух различных корней нужно:

   $$5b^2+6b+1>0.$$

   $$5b^2+6b+1=(5b+1)(b+1).$$

   Следовательно,

   $$b<-1 \text{ или } b>-\frac15.$$

   С учётом условия $$b\neq 0$$ получаем:

   $$b\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;0\right)\cup(0;+\infty).$$

3. $$ (b-1)x^2-2(b+1)x-3b+2=0 $$

   Если $$b=1$$, уравнение становится линейным, поэтому два различных корня оно не имеет. Значит, $$b\neq 1$$.

   Найдём дискриминант:

   $$D=[-2(b+1)]^2-4(b-1)(-3b+2).$$

   $$D=4(b+1)^2+4(b-1)(3b-2).$$

   $$D=4(b^2+2b+1)+4(3b^2-5b+2)=16b^2-12b+12.$$

   Требуем:

   $$16b^2-12b+12>0.$$

   $$4b^2-3b+3>0.$$

   У этого квадратного трёхчлена дискриминант

   $$D=(-3)^2-4\cdot 4\cdot 3=9-48=-39<0,$$

   а старший коэффициент положителен, значит, выражение положительно при всех $$b$$.

   Итак, нужно только $$b\neq 1$$.

4. $$ (3b-2)x^2-(5b+2)x+5b-1=0 $$

   Если $$3b-2=0$$, уравнение становится линейным, поэтому два различных корня оно не имеет. Значит, $$b\neq \frac23$$.

   Найдём дискриминант:

   $$D=(5b+2)^2-4(3b-2)(5b-1).$$

   $$D=25b^2+20b+4-4(15b^2-11b+2).$$

   $$D=25b^2+20b+4-60b^2+44b-8=-35b^2+64b-4.$$

   Для двух различных корней нужно:

   $$-35b^2+64b-4>0,$$

   то есть

   $$35b^2-64b+4<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=64^2-4\cdot 35\cdot 4=4096-560=3536=16\cdot 221.$$

   $$b_{1,2}=\frac{64\pm 4\sqrt{221}}{70}=\frac{32\pm 2\sqrt{221}}{35}.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то

   $$35b^2-64b+4<0$$

   при

   $$\frac{32-2\sqrt{221}}{35}<b<\frac{32+2\sqrt{221}}{35}.$$

   Исключаем $$b=\frac23$$.

Ответ

1) $$b\in\left(-\infty;-\frac14\right)\cup(1;+\infty)$$

2) $$b\in(-\infty;-1)\cup\left(-\frac15;0\right)\cup(0;+\infty)$$

3) $$b\neq 1$$

4) $$b\in\left(\frac{32-2\sqrt{221}}{35};\frac{32+2\sqrt{221}}{35}\right),\ b\neq \frac23$$