Упр.120 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1) х^2 + (а + 2)х + 4 = 0;
2) (а + 1)х^2 — 3ах + 4а = 0;
3) (10 — 2а)х^2 — (а- 5)х + 1 = 0;
4) (а + 1)х^2 -2(а- 1)х + За — 3 = 0.

1. $$x^2+(a+2)x+4=0$$

   Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$.

   $$ D=(a+2)^2-4\cdot 1\cdot 4=a^2+4a-12 $$

   $$ a^2+4a-12<0 $$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$ a^2+4a-12=0,\quad D=4^2-4\cdot 1\cdot(-12)=64 $$
   $$ a_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{2} $$
   $$ a_1=-6,\quad a_2=2 $$

   Тогда
   $$ (a+6)(a-2)<0 $$
   откуда
   $$ -6<a<2. $$

2. $$ (a+1)x^2-3ax+4a=0 $$

   Если $$a+1=0$$, то уравнение становится линейным: $$-3x-4=0$$, и корень есть. Значит, этот случай не подходит.

   При $$a\neq -1$$ рассмотрим дискриминант:

   $$ D=(-3a)^2-4(a+1)\cdot 4a=9a^2-16a^2-16a=-7a^2-16a $$

   Нужно:
   $$ -7a^2-16a<0 $$
   $$ 7a^2+16a>0 $$
   $$ a(7a+16)>0 $$

   Отсюда
   $$ a<-\frac{16}{7}\quad \text{или}\quad a>0. $$

3. $$ (10-2a)x^2-(a-5)x+1=0 $$

   Чтобы уравнение не имело корней, нужно $$D<0$$.

   $$ D=(a-5)^2-4(10-2a)=a^2-10a+25-40+8a=a^2-2a-15 $$

   $$ a^2-2a-15<0 $$
   $$ (a-5)(a+3)<0 $$
   $$ -3<a<5 $$

   Если $$10-2a=0$$, то $$a=5$$, и уравнение становится линейным: $$0\cdot x^2-0\cdot x+1=0$$, что невозможно. Значит, $$a=5$$ тоже подходит.

   Итак,

   $$ -3<a\le 5. $$

4. $$ (a+1)x^2-2(a-1)x+3a-3=0 $$

   Если $$a+1=0$$, то получаем линейное уравнение:

   $$ -4x-6=0 $$

   Корень есть, значит $$a=-1$$ не подходит.

   При $$a\neq -1$$ найдём дискриминант:

   $$ D=\bigl(-2(a-1)\bigr)^2-4(a+1)(3a-3) $$
   $$ D=4(a-1)^2-4(a+1)(3a-3) $$
   $$ D=4(a^2-2a+1)-4(3a^2-3) $$
   $$ D=4a^2-8a+4-12a^2+12=-8a^2-8a+16 $$

   Нужно:
   $$ -8a^2-8a+16<0 $$
   $$ a^2+a-2>0 $$
   $$ (a+2)(a-1)>0 $$

   Отсюда
   $$ a<-2\quad \text{или}\quad a>1. $$

Ответ

1) $$a\in(-6;2)$$;
2) $$a\in\left(-\infty;-\frac{16}{7}\right)\cup(0;+\infty)$$;
3) $$a\in(-3;5]$$;
4) $$a\in(-\infty;-2)\cup(1;+\infty)$$.