Упр.115 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1) (3x+1)(x-2) < 6;
2) (x+3)^2-16 > =(1-2x)^2;
3) (x+3)/5-(x^2-4)/8 < =1
4) (3x^2-11)/8 < 10-(37-x^2)/6
$$ (3x+1)(x-2) < 6 $$
$$ 3x^2-6x+x-2 < 6 $$
$$ 3x^2-5x-8 < 0 $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D = (-5)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121 $$
$$ x_1 = \frac{5-11}{2\cdot 3} = -1, \qquad x_2 = \frac{5+11}{2\cdot 3} = \frac{8}{3} $$
Тогда
$$ (x+1)\left(x-\frac{8}{3}\right) < 0 $$
Отсюда
$$ -1 < x < \frac{8}{3} $$
$$ (x+3)^2-16 \ge (1-2x)^2 $$
$$ x^2+6x+9-16 \ge 1-4x+4x^2 $$
$$ 3x^2-10x+8 \le 0 $$
Найдём корни:
$$ D = (-10)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 8 = 100 — 96 = 4 $$
$$ x_1 = \frac{10-2}{2\cdot 3} = \frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{10+2}{2\cdot 3} = 2 $$
Тогда
$$ \left(x-\frac{4}{3}\right)(x-2) \le 0 $$
Следовательно,
$$ \frac{4}{3} \le x \le 2 $$
$$ \frac{x+3}{5}-\frac{x^2-4}{8} \le 1 $$
Умножим на $$40$$:
$$ 8(x+3)-5(x^2-4) \le 40 $$
$$ 8x+24-5x^2+20 \le 40 $$
$$ 5x^2-8x-4 \ge 0 $$
Найдём корни:
$$ D = (-8)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 64 + 80 = 144 $$
$$ x_1 = \frac{8-12}{2\cdot 5} = -\frac{2}{5}, \qquad x_2 = \frac{8+12}{2\cdot 5} = 2 $$
Тогда
$$ \left(x+\frac{2}{5}\right)(x-2) \ge 0 $$
Отсюда
$$ x \le -\frac{2}{5} \quad \text{или} \quad x \ge 2 $$
$$ \frac{3x^2-11}{8} < 10-\frac{37-x^2}{6} $$
Умножим на $$24$$:
$$ 3(3x^2-11) < 24\cdot 10 — 4(37-x^2) $$
$$ 9x^2-33 < 240-148+4x^2 $$
$$ 5x^2-125 < 0 $$
$$ x^2-25 < 0 $$
$$ (x-5)(x+5) < 0 $$
Следовательно,
$$ -5 < x < 5 $$
Ответ
1) $$x \in \left(-1;\frac{8}{3}\right)$$; 2) $$x \in \left[\frac{4}{3};2\right]$$; 3) $$x \in \left(-\infty;-\frac{2}{5}\right] \cup [2;+\infty)$$; 4) $$x \in (-5;5)$$.
