Упр.110 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: Парабола у = ах^2 + bх + с имеет вершину в точке М(2; 1) и проходит через точку К(-1; 5). Найдите значения коэффициентов а, b и с.

Запишем уравнение параболы:

$$y=ax^2+bx+c.$$

Так как вершина параболы находится в точке $$M(2;1),$$ то

$$x_0=-\frac{b}{2a}=2,$$

откуда

$$b=-4a.$$

Координата вершины по оси $$y$$ равна

$$y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=1.$$

Подставим $$b=-4a$$:

$$\frac{4ac-(-4a)^2}{4a}=1,$$

$$\frac{4ac-16a^2}{4a}=1,$$

$$4ac-16a^2=4a,$$

$$c-4a=1,$$

$$c=1+4a.$$

Теперь используем точку $$K(-1;5),$$ через которую проходит график:

$$5=a(-1)^2+b(-1)+c,$$

$$5=a-b+c.$$

Подставим $$b=-4a$$ и $$c=1+4a$$:

$$5=a-(-4a)+(1+4a),$$

$$5=a+4a+1+4a,$$

$$5=9a+1,$$

$$4=9a,$$

$$a=\frac{4}{9}.$$

Тогда

$$b=-4a=-4\cdot\frac{4}{9}=-\frac{16}{9},$$

$$c=1+4a=1+\frac{16}{9}=\frac{25}{9}.$$

Ответ

$$a=\frac{4}{9},\quad b=-\frac{16}{9},\quad c=\frac{25}{9}.$$