Упр.107 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция y=(a-2)x^2+2x-7 принимает неположительные значения при всех действительных значениях х?

Рассмотрим функцию $$y=(a-2)x^2+2x-7.$$

Чтобы она принимала неположительные значения при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вниз и не пересекать ось $$Ox$$ выше нуля.

Найдём дискриминант:

$$D=2^2-4(a-2)(-7)=4+28a-56=28a-52.$$

Для квадратичной функции, ветви которой направлены вниз, нужно:

$$a-2<0,$$

то есть

$$a<2.$$

Кроме того, чтобы функция не имела двух действительных корней и не принимала положительных значений, необходимо

$$D\le 0.$$

Тогда

$$28a-52\le 0,$$

$$28a\le 52,$$

$$a\le \frac{13}{7}.$$

Условие $$a<2$$ выполняется автоматически при $$a\le \frac{13}{7}$$, так как $$\frac{13}{7}<2.$$

Следовательно, искомые значения параметра:

$$a\in\left(-\infty;\frac{13}{7}\right].$$

Ответ

$$a\in\left(-\infty;\frac{13}{7}\right].$$