Упр.107 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция у = (а + 2)х^2 + 4х — 5 принимает неположительные значения при всех действительных значениях х?

Рассмотрим функцию $$y=(a+2)x^2+4x-5.$$

Чтобы она принимала неположительные значения при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, а её наибольшее значение не должно быть положительным.

1) Найдём дискриминант:

$$D=4^2-4(a+2)(-5)=16+20a+40=56+20a.$$

2) Ветви параболы направлены вниз, если

$$a+2<0,$$

то есть

$$a<-2.$$

3) Чтобы функция не имела двух различных действительных корней и не принимала положительных значений, нужно

$$D\le 0.$$

Тогда

$$56+20a\le 0,$$

$$20a\le -56,$$

$$a\le -\frac{14}{5}.$$

Это условие уже сильнее, чем $$a<-2$$, значит оно и является искомым.

Ответ

$$a\in(-\infty;\,-\frac{14}{5}]$$