Упр.106 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция у = (а — 1)х^2 + 6х + 20 принимает положительные значения при всех действительных значениях х!

Рассмотрим функцию $$y=(a-1)x^2+6x+20.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных $$x$$, парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox$$.

1) Найдём дискриминант:

$$D=6^2-4(a-1)\cdot 20=36-80a+80=116-80a.$$

2) Ветви параболы направлены вверх, если

$$a-1>0,$$

то есть

$$a>1.$$

3) Чтобы функция не имела нулей, нужно

$$D<0,$$

то есть

$$116-80a<0,$$

$$80a>116,$$

$$a>\frac{29}{20}.$$

Совмещаем условия:

$$a>1 \quad \text{и} \quad a>\frac{29}{20}.$$

Следовательно,

$$a>\frac{29}{20}.$$

Ответ

$$a\in\left(\frac{29}{20};+\infty\right).$$