Упр.105 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция у = y=3x^2-12x+a принимает положительные значения при всех действительных значениях х?

Рассмотрим функцию $$y=3x^2-12x+a.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных значениях $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox.$$

1) Найдём дискриминант:

$$D=(-12)^2-4\cdot 3\cdot a=144-12a.$$

2) Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, ветви параболы направлены вверх:

$$3>0.$$

3) Для того чтобы функция была положительной при всех $$x,$$ нужно, чтобы квадратный трёхчлен не имел действительных корней:

$$D<0.$$

Тогда

$$144-12a<0,$$

$$144<12a,$$

$$a>12.$$

При $$a=12$$ получаем $$y=3(x-2)^2,$$ а это значение равно нулю при $$x=2,$$ поэтому этот случай не подходит.

Ответ

$$a\in(12;+\infty).$$