Упр.105 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонский, Якир 9 класс, Просвещение: При каких значениях а функция у = 4х^2 +5х — а принимает положительные значения при всех действительных значениях х?

Рассмотрим функцию $$y=4x^2+5x-a.$$

Чтобы она принимала положительные значения при всех действительных значениях $$x,$$ парабола должна быть направлена вверх и не пересекать ось $$Ox.$$

Так как $$4>0,$$ ветви параболы направлены вверх.

Найдём дискриминант:

$$D=5^2-4\cdot 4\cdot(-a)=25+16a.$$

Для того чтобы функция была положительной при всех $$x,$$ необходимо, чтобы квадратный трёхчлен не имел действительных корней и был направлен вверх, то есть

$$D<0.$$

Тогда

$$25+16a<0,$$

$$16a<-25,$$

$$a<-\frac{25}{16}.$$

Следовательно,

$$a\in\left(-\infty;-\frac{25}{16}\right).$$

Ответ

$$a\in\left(-\infty;-\frac{25}{16}\right).$$