Контрольная работа 1 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1. Докажите неравенство (х +3)(х -10) < (х -5)(х -2).
2. Известно, что 4 < x < 10, 5 < у < 8. Оцените значение выражения:
1) 4х + у; 2) ху; 3) у-x.
3. Решите неравенство:
1) 3/8х < = -3/4; 2) 7х - 4 > 6(3х — 2).
4. Решите систему неравенств:
1) 8х — 32 < 0,
-3х +15 > 0;
2) 6x -5 < 13,
28 + 4х > 20.
5. Найдите множество решений неравенства:
1) (2x-1)/4 — (x+3)/8 < -4
2) 8х + 3 > 5(2х — 3) — 2х.
6. Найдите целые решения системы неравенств
4(5x-4) > =13(x -1)+18,
x(x +5) — (х-2)(х+8) > 9.
7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение v(4x+16)+1/v(6-3x)
8. Докажите неравенство a^2-8ab+17b^2-2b+3 > 0.
Найдём разность правой и левой частей:
$$ (x-5)(x-2)-(x+3)(x-10)= $$
$$ = (x^2-7x+10)-(x^2-7x-30)=40>0. $$
Значит, $$ (x+3)(x-10)<(x-5)(x-2). $$
При $$4<x<10$$ и $$5<y<8$$:
1) $$4x+y$$
$$ 4\cdot 4<4x<4\cdot 10,\quad 16<4x<40, $$
$$ 16+5<4x+y<40+8,\quad 21<4x+y<48. $$
2) $$xy$$
$$ 4\cdot 5<xy<10\cdot 8,\quad 20<xy<80. $$
3) $$y-x$$
$$ -10<-x<-4, $$
$$ 5-10<y-x<8-4,\quad -5<y-x<4. $$
1) $$\frac{3}{8}x\le -\frac{3}{4}$$
$$ x\le -\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{3}=-2. $$
2) $$7x-4>6(3x-2)$$
$$ 7x-4>18x-12 $$
$$ -11x>-8 $$
$$ x<\frac{8}{11}. $$
1)
$$ \begin{cases} 8x-32<0,\\ -3x+15>0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<4,\\ x<5 \end{cases} $$
Следовательно, $$x<4.$$
2)
$$ \begin{cases} 6x-5<13,\\ 28+4x>20 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<3,\\ x>-2 \end{cases} $$
Следовательно, $$x\in(-2;3).$$
1)
$$ \frac{2x-1}{4}-\frac{x+3}{8}<-4 $$
Умножим на $$8$$:
$$ 2(2x-1)-(x+3)<-32 $$
$$ 4x-2-x-3<-32 $$
$$ 3x-5<-32 $$
$$ 3x<-27,\quad x<-9. $$
2)
$$ 8x+3>5(2x-3)-2x $$
$$ 8x+3>10x-15-2x $$
$$ 8x+3>8x-15 $$
$$ 3>-15, $$
что верно при любом $$x.$$
1)
$$ \begin{cases} 4(5x-4)\ge 13(x-1)+18,\\ x(x+5)-(x-2)(x+8)>9 \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 20x-16\ge 13x-13+18 $$
$$ 20x-13x\ge 5 $$
$$ 7x\ge 5,\quad x\ge \frac{5}{7}. $$
Второе неравенство:
$$ x^2+5x-(x^2+6x-16)>9 $$
$$ -x+16>9 $$
$$ x<7. $$
Тогда $$x\in\left[\frac{5}{7};7\right).$$ Целые решения: $$1,2,3,4,5,6.$$
$$ \sqrt{4x+16}+\frac{1}{\sqrt{6-3x}} $$
Чтобы выражение имело смысл, нужно:
$$ 4x+16\ge 0,\quad 6-3x>0. $$
Отсюда:
$$ x\ge -4,\quad x<2. $$
Значит, $$x\in[-4;2).$$
Преобразуем выражение:
$$ a^2-8ab+17b^2-2b+3= (a^2-8ab+16b^2)+(b^2-2b+1)+2 $$
$$ =(a-4b)^2+(b-1)^2+2. $$
Так как $$ (a-4b)^2\ge 0 $$ и $$ (b-1)^2\ge 0, $$ то
$$ (a-4b)^2+(b-1)^2+2>0. $$
Неравенство доказано.
Ответ
1) верно; 2) $$21<4x+y<48,$$ $$20<xy<80,$$ $$-5<y-x<4;$$ 3) $$x\le -2,$$ $$x<\frac{8}{11};$$ 4) $$x<4,$$ $$x\in(-2;3);$$ 5) $$x<-9,$$ $$x\in(-\infty;+\infty);$$ 6) $$1,2,3,4,5,6;$$ 7) $$x\in[-4;2);$$ 8) верно.
