Контрольная работа 1 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
1. Докажите неравенство (х — 4)(х + 9) > (х + 12)(х — 7).
2. Известно, что 3 < x < 8, 2 < у < 6. Оцените значение выражения:
1) 2х + у; 2) ху; 3) х - у.
3. Решите неравенство:
1) 2/7х > = -14; 2) Зх — 8 < 4(2х - 3).
4. Решите систему неравенств:
1) бх - 24 > 0,
-2х + 12 < 0;
2) 2x + 7 < 19,
30 - 8х < 6.
5. Найдите множество решений неравенства:
1) (2x+3)/3 - (x+1)/4 < -1
2) 5х + 2 < 4(2х - 1) - Зх.
6. Найдите целые решения системы неравенств
2(3x-4) > 4(x + 1)-3,
x(x — 4) — (х + 3)(х — 5) > -5.
7. При каких значениях переменной имеет смысл выражение v(3x-9)+1/v(40-5x)
8. Докажите неравенство 10х^2 — 6ху + у^2 — 4х + 6 > 0.
1) Рассмотрим разность левой и правой частей:
$$ (x-4)(x+9)-(x+12)(x-7) $$
$$ = (x^2+5x-36)-(x^2+5x-84)=48>0. $$
Значит, $$ (x-4)(x+9) > (x+12)(x-7) $$.
2) При $$3<x<8$$ и $$2<y<6$$:
$$ 6<2x<16,\qquad 2<y<6. $$
Тогда
$$ 8<2x+y<22, $$
$$ 6<xy<48, $$
$$ -6<-y<-2,\qquad 3-6<x-y<8-2, $$
откуда
$$ -3<x-y<6. $$
3) Решим неравенства:
$$ \frac{2}{7}x\ge -14 \Rightarrow x\ge -14\cdot \frac{7}{2}=-49, $$
значит, $$x\in[-49;+\infty).$$
$$ 3x-8<4(2x-3) $$
$$ 3x-8<8x-12 $$
$$ 5x>4 $$
$$ x>\frac45. $$
Значит, $$x\in\left(\frac45;+\infty\right).$$
4) Решим системы неравенств:
1)
$$ \begin{cases} 6x-24>0,\\ -2x+12<0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>4,\\ x>6 \end{cases} $$
Следовательно, $$x\in(6;+\infty).$$
2)
$$ \begin{cases} 2x+7<19,\\ 30-8x<6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x<12,\\ -8x<-24 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<6,\\ x>3 \end{cases} $$
Следовательно, $$x\in(3;6).$$
5) Найдём множество решений:
1)
$$ \frac{2x+3}{3}-\frac{x+1}{4}<-1 $$
Умножим на 12:
$$ 4(2x+3)-3(x+1)<-12 $$
$$ 8x+12-3x-3<-12 $$
$$ 5x+9<-12 $$
$$ 5x<-21 $$
$$ x<-\frac{21}{5}. $$
Значит, $$x\in\left(-\infty;-\frac{21}{5}\right).$$
2)
$$ 5x+2<4(2x-1)-3x $$
$$ 5x+2<8x-4-3x $$
$$ 5x+2<5x-4 $$
$$ 2<-4, $$
что неверно. Следовательно, решений нет.
6) Найдём целые решения системы:
$$ \begin{cases} 2(3x-4)>4(x+1)-3,\\ x(x-4)-(x+3)(x-5)>-5 \end{cases} $$
Первое неравенство:
$$ 6x-8>4x+1 $$
$$ 2x>9 $$
$$ x>\frac92. $$
Второе неравенство:
$$ x(x-4)-(x+3)(x-5)>-5 $$
$$ x^2-4x-(x^2-2x-15)>-5 $$
$$ -2x+15>-5 $$
$$ -2x>-20 $$
$$ x<10. $$
Тогда $$\frac92<x<10$$, целые решения:
$$ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9. $$
7) Область определения выражения
$$ \sqrt{3x-9}+\frac{1}{\sqrt{40-5x}} $$
находим из условий:
$$ 3x-9\ge 0,\qquad 40-5x>0. $$
Отсюда
$$ x\ge 3,\qquad x<8. $$
Значит, $$x\in[3;8).$$
8) Преобразуем левую часть:
$$ 10x^2-6xy+y^2-4x+6 $$
$$ =(9x^2-6xy+y^2)+(x^2-4x+4)+2 $$
$$ =(3x-y)^2+(x-2)^2+2. $$
Так как $$ (3x-y)^2\ge 0 $$ и $$ (x-2)^2\ge 0 $$, то
$$ (3x-y)^2+(x-2)^2+2>0. $$
Неравенство доказано.
Ответ
1) Верно для всех $$x$$.
2) $$8<2x+y<22,\quad 6<xy<48,\quad -3<x-y<6.$$
3) $$x\in[-49;+\infty),\quad x\in\left(\frac45;+\infty\right).$$
4) $$x\in(6;+\infty),\quad x\in(3;6).$$
5) $$x\in\left(-\infty;-\frac{21}{5}\right),\quad \varnothing.$$
6) $$5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9.$$
7) $$x\in[3;8).$$
8) Неравенство верно при всех $$x$$ и $$y$$.
