Упр.95 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции: 1) $$f(x)=3x^2-6x+1$$; 2) $$f(x)=-\frac{1}{4}x^2+2x+10$$; 3) $$f(x)=9-18x-0{,}6x^2$$; 4) $$f(x)=11x^2-3x$$.
Для квадратичной функции $$f(x)=ax^2+bx+c$$ вершина параболы имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a}.$$ Если $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; x_0]$$ и возрастает на $$[x_0; +\infty),$$ а область значений имеет вид $$[y_0; +\infty).$$ Если $$a<0,$$ то функция возрастает на $$(-\infty; x_0]$$ и убывает на $$[x_0; +\infty),$$ а область значений имеет вид $$(-\infty; y_0].$$
$$f(x)=3x^2-6x+1$$
$$a=3>0,$$ значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{-6}{2\cdot 3}=1.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f(1)=3\cdot 1^2-6\cdot 1+1=-2.$$
Следовательно, $$E(f)=[-2;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty).$$
$$f(x)=-\frac14x^2+2x+10$$
$$a=-\frac14<0,$$ значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot\left(-\frac14\right)}=4.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f(4)=-\frac14\cdot 4^2+2\cdot 4+10=-4+8+10=14.$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;14].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;4]$$ и убывает на $$[4;+\infty).$$
$$f(x)=9-18x-0{,}6x^2$$
$$a=-0{,}6<0,$$ значит, ветви параболы направлены вниз.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{-18}{2\cdot(-0{,}6)}=-15.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f(-15)=9-18\cdot(-15)-0{,}6\cdot(-15)^2=9+270-135=144.$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;144].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-15]$$ и убывает на $$[-15;+\infty).$$
$$f(x)=11x^2-3x$$
$$a=11>0,$$ значит, ветви параболы направлены вверх.
Найдём абсциссу вершины:
$$x_0=-\frac{-3}{2\cdot 11}=\frac{3}{22}.$$
Найдём ординату вершины:
$$y_0=f\!\left(\frac{3}{22}\right)=11\left(\frac{3}{22}\right)^2-3\cdot\frac{3}{22}=\frac{9}{44}-\frac{18}{44}=-\frac{9}{44}.$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac{9}{44};+\infty\right).$$
Функция убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{22}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{3}{22};+\infty\right).$$
Ответ
1) $$E(f)=[-2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;1],$$ возрастает на $$[1;+\infty).$$
2) $$E(f)=(-\infty;14],$$ возрастает на $$(-\infty;4],$$ убывает на $$[4;+\infty).$$
3) $$E(f)=(-\infty;144],$$ возрастает на $$(-\infty;-15],$$ убывает на $$[-15;+\infty).$$
4) $$E(f)=\left[-\frac{9}{44};+\infty\right),$$ убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{22}\right],$$ возрастает на $$\left[\frac{3}{22};+\infty\right).$$
