Упр.95 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:
1) $$f(x)=2x^2-8x+1$$;
2) $$f(x)=-\frac{1}{3}x^2+x-2$$;
3) $$f(x)=17-16x-0{,}2x^2$$;
4) $$f(x)=5x^2+8x$$.
1) $$f(x)=2x^2-8x+1$$
Так как $$a=2>0,$$ ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 2}=2,$$
$$y_0=f(2)=2\cdot 2^2-8\cdot 2+1=8-16+1=-7.$$
Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-7,$$ поэтому
$$E(f)=[-7;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;2]$$ и возрастает на $$[2;+\infty).$$
2) $$f(x)=-\frac13x^2+x-2$$
Так как $$a=-\frac13<0,$$ ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot\left(-\frac13\right)}=\frac32,$$
$$y_0=f\!\left(\frac32\right)=-\frac13\cdot\left(\frac32\right)^2+\frac32-2=-\frac34+\frac32-2=-\frac54.$$
Следовательно, наибольшее значение функции равно $$-\frac54,$$ поэтому
$$E(f)=(-\infty;-\frac54].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;\frac32]$$ и убывает на $$[\frac32;+\infty).$$
3) $$f(x)=17-16x-0{,}2x^2$$
Перепишем в стандартном виде:
$$f(x)=-0{,}2x^2-16x+17.$$
Так как $$a=-0{,}2<0,$$ ветви параболы направлены вниз. Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-16}{2\cdot(-0{,}2)}=\frac{16}{-0{,}4}=-40,$$
$$y_0=f(-40)=17-16\cdot(-40)-0{,}2\cdot(-40)^2=17+640-320=337.$$
Значит,
$$E(f)=(-\infty;337].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-40]$$ и убывает на $$[-40;+\infty).$$
4) $$f(x)=5x^2+8x$$
Так как $$a=5>0,$$ ветви параболы направлены вверх. Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 5}=-\frac45,$$
$$y_0=f\!\left(-\frac45\right)=5\cdot\left(-\frac45\right)^2+8\cdot\left(-\frac45\right)=5\cdot\frac{16}{25}-\frac{32}{5}=\frac{16}{5}-\frac{32}{5}=-\frac{16}{5}.$$
Следовательно,
$$E(f)=\left[-\frac{16}{5};+\infty\right).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-\frac45]$$ и возрастает на $$[-\frac45;+\infty).$$
Ответ
1) $$E(f)=[-7;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;2],$$ возрастает на $$[2;+\infty).$$
2) $$E(f)=(-\infty;-\frac54],$$ возрастает на $$(-\infty;\frac32],$$ убывает на $$[\frac32;+\infty).$$
3) $$E(f)=(-\infty;337],$$ возрастает на $$(-\infty;-40],$$ убывает на $$[-40;+\infty).$$
4) $$E(f)=\left[-\frac{16}{5};+\infty\right),$$ убывает на $$(-\infty;-\frac45],$$ возрастает на $$[-\frac45;+\infty).$$
