Упр.95 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:
1) $$f(x)=x^2+4x-16$$;
2) $$f(x)=-\frac{1}{7}x^2+2x+3$$;
3) $$f(x)=20-12x-0{,}4x^2$$;
4) $$f(x)=3x^2+7x$$.
Для квадратичной функции $$f(x)=ax^2+bx+c$$ вершина параболы имеет абсциссу $$x_0=-\frac{b}{2a},$$ а ординату $$y_0=f(x_0).$$ Если $$a>0,$$ то функция убывает на $$(-\infty; x_0]$$ и возрастает на $$[x_0; +\infty),$$ а если $$a<0,$$ то наоборот.
$$f(x)=x^2+4x-16.$$
$$a=1>0,$$ значит, ветви параболы направлены вверх.
$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$
$$y_0=f(-2)=(-2)^2+4\cdot(-2)-16=4-8-16=-20.$$
Следовательно, $$E(f)=[-20;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-2]$$ и возрастает на $$[-2;+\infty).$$
$$f(x)=-\frac17x^2+2x+3.$$
$$a=-\frac17<0,$$ значит, ветви параболы направлены вниз.
$$x_0=-\frac{2}{2\cdot\left(-\frac17\right)}=7,$$
$$y_0=f(7)=-\frac17\cdot 7^2+2\cdot 7+3=-7+14+3=10.$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;10].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;7]$$ и убывает на $$[7;+\infty).$$
$$f(x)=20-12x-0{,}4x^2.$$
$$a=-0{,}4<0,$$ значит, ветви параболы направлены вниз.
$$x_0=-\frac{-12}{2\cdot(-0{,}4)}=-15,$$
$$y_0=f(-15)=20-12\cdot(-15)-0{,}4\cdot(-15)^2=20+180-90=110.$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;110].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-15]$$ и убывает на $$[-15;+\infty).$$
$$f(x)=3x^2+7x.$$
$$a=3>0,$$ значит, ветви параболы направлены вверх.
$$x_0=-\frac{7}{2\cdot 3}=-\frac76=-1\frac16,$$
$$y_0=f\!\left(-\frac76\right)=3\left(-\frac76\right)^2+7\left(-\frac76\right)=\frac{49}{12}-\frac{49}{6}=-\frac{49}{12}=-4\frac{1}{12}.$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-4\frac{1}{12};+\infty\right).$$
Функция убывает на $$\left(-\infty;-\frac76\right]$$ и возрастает на $$\left[-\frac76;+\infty\right).$$
