Упр.92 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$f(x)=6x-3x^2$$. Используя график, найдите: 1) наибольшее и наименьшее значения функции; 2) область значений функции; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) множество решений неравенств $$f(x)>0$$ и $$f(x)<0$$.

Найдём основные характеристики функции $$f(x)=6x-3x^2=-3x^2+6x.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как $$a=-3<0.$$

Координаты вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-3)}=1,$$

$$y_0=f(1)=6\cdot1-3\cdot1^2=6-3=3.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(1;3\right).$$

Найдём нули функции:

$$6x-3x^2=0$$

$$3x(2-x)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

По этим данным строим график параболы.

Ответ

1) Наибольшее значение функции: $$y_{\max}=3.$$ Наименьшего значения не существует.

2) Область значений: $$E(f)=(-\infty;3].$$

3) Функция возрастает на $$(-\infty;1],$$ убывает на $$[1;+\infty).$$

4) $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;2),$$

$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty).$$