Упр.92 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции $$f(x)=6x-2x^2$$. Используя график, найдите: 1) наибольшее и наименьшее значения функции; 2) область значений функции; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) множество решений неравенств $$f(x)>0$$; $$f(x)<0$$.

Функция $$f(x)=6x-2x^2$$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как $$a=-2<0$$.

Найдём координаты вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-2)}=\frac{6}{4}=1{,}5,$$

$$y_0=f(1{,}5)=6\cdot1{,}5-2\cdot(1{,}5)^2=9-4{,}5=4{,}5.$$

Значит, вершина параболы имеет координаты $$\left(1{,}5;\,4{,}5\right).$$

Найдём нули функции:

$$6x-2x^2=0$$

$$2x(3-x)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=3.$$

Тогда парабола пересекает ось $$Ox$$ в точках $$0$$ и $$3$$, а наибольшее значение функции достигается в вершине.

Ответ

1) $$y_{\max}=4{,}5,$$ наименьшего значения не существует.

2) $$E(f)=(-\infty;\,4{,}5].$$

3) Функция возрастает на $$(-\infty;\,1{,}5]$$, убывает на $$[1{,}5;\,+\infty).$$

4) $$f(x)>0$$ при $$x\in(0;\,3),$$

$$f(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;\,0)\cup(3;\,+\infty).$$