Упр.91 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Постройте график функции $$f(x)=x^2+2x-3$$. Используя график, найдите: 1) наибольшее и наименьшее значения функции; 2) область значений функции; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) множество решений неравенств $$f(x)\geqslant 0$$ и $$f(x)<0$$.
Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+2x-3.$$
Найдём координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,$$
$$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4.$$
Значит, вершина параболы имеет координаты $$(-1;\,-4).$$ Так как $$a=1>0,$$ ветви параболы направлены вверх.
Для построения графика возьмём несколько точек:
| $$x$$ | $$0$$ | $$1$$ | $$2$$ |
|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-3$$ | $$0$$ | $$5$$ |
По этим точкам строим параболу.
Наибольшего значения функция не имеет, так как парабола не ограничена сверху. Наименьшее значение равно $$-4.$$
Область значений функции:
$$E(f)=[-4;\,+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty).$$
Решим неравенство $$f(x)\ge 0.$$
$$x^2+2x-3\ge 0$$
$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\ge 0.$$
Произведение неотрицательно, если $$x\le -3$$ или $$x\ge 1.$$
Значит,
$$f(x)\ge 0,\quad x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty).$$
А для неравенства $$f(x)<0$$ получаем:
$$x\in(-3;\,1).$$
Ответ: $$y_{\min}=-4,$$ наибольшего значения нет; $$E(f)=[-4;\,+\infty);$$ функция убывает на $$(-\infty;\,-1]$$ и возрастает на $$[-1;\,+\infty);$$ $$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;\,-3]\cup[1;\,+\infty),$$ $$f(x)<0$$ при $$x\in(-3;\,1).$$
