Упр.85 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=(x+3)^2-1$$. Используя этот график, найдите: 1) нули функции; 2) при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения; 3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции; 4) область значений функции.

Функция $$y=(x+3)^2-1$$ получается из графика $$y=x^2$$ сдвигом на $$3$$ единицы влево и на $$1$$ единицу вниз. Поэтому вершина параболы имеет координаты $$(-3;\,-1)$$, ветви направлены вверх.

Найдём основные характеристики функции.

1. Нули функции:

   $$(x+3)^2-1=0$$

   $$(x+3)^2=1$$

   $$x+3=\pm 1$$

   $$x=-4 \text{ или } x=-2$$

2. Функция принимает положительные значения, когда

   $$(x+3)^2-1>0$$

   $$(x+3)^2>1$$

   $$x<-4 \text{ или } x>-2$$

   То есть

   $$x\in(-\infty;\,-4)\cup(-2;\,+\infty).$$

3. Так как вершина параболы находится в точке $$(-3;\,-1)$$, то функция убывает слева от вершины и возрастает справа от неё:

   убывает на $$(-\infty;\,-3]$$;

   возрастает на $$[-3;\,+\infty).$$

4. Область значений функции:

   минимальное значение равно $$-1$$, значит

   $$E(y)=[-1;\,+\infty).$$

Ответ: $$x=-4,\,-2$$; $$x\in(-\infty;\,-4)\cup(-2;\,+\infty)$$; убывает на $$(-\infty;\,-3]$$, возрастает на $$[-3;\,+\infty)$$; $$E(y)=[-1;\,+\infty).$$