Упр.76 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция:

1) $$f(x)=\frac{7}{x-5}$$ убывает на промежутке $$(5;+\infty)$$;

2) $$f(x)=x^2+6x$$ возрастает на промежутке $$[-3;+\infty)$$.

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\frac{7}{x-5}.$$

Пусть $$x_2>x_1>5.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=\frac{7}{x_2-5}-\frac{7}{x_1-5} =\frac{7(x_1-5)-7(x_2-5)}{(x_2-5)(x_1-5)} =\frac{7(x_1-x_2)}{(x_2-5)(x_1-5)}.$$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а при $$x_1>5$$ и $$x_2>5$$ знаменатель положителен. Значит,

$$f(x_2)-f(x_1)<0,$$

то есть $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, функция убывает на промежутке $$\left(5;+\infty\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+6x.$$

Пусть $$x_2>x_1\ge -3.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2+6x_2)-(x_1^2+6x_1) =(x_2^2-x_1^2)+6(x_2-x_1)$$

$$=(x_2-x_1)(x_2+x_1)+6(x_2-x_1) =(x_2-x_1)(x_2+x_1+6).$$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_2-x_1>0.$$ Кроме того, из $$x_1\ge -3$$ и $$x_2>x_1$$ следует, что $$x_2\ge -3,$$ значит

$$x_2+x_1+6\ge -3+(-3)+6=0.$$

При $$x_2>x_1$$ имеем даже $$x_2+x_1+6>0,$$ поэтому

$$f(x_2)-f(x_1)>0,$$

то есть $$f(x_2)>f(x_1).$$ Следовательно, функция возрастает на промежутке $$\left[-3;+\infty\right).$$

Ответ: 1) убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$; 2) возрастает на $$\left[-3;+\infty\right).$$