Упр.76 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция:

1. $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ убывает на промежутке $$(-2;+\infty)$$;
2. $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;4]$$.

1) Пусть $$x_2>x_1>-2.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=\frac{5}{x_2+2}-\frac{5}{x_1+2} =\frac{5(x_1+2)-5(x_2+2)}{(x_2+2)(x_1+2)} =\frac{5(x_1-x_2)}{(x_2+2)(x_1+2)}.$$

Так как $$x_1-x_2<0,$$ а $$x_2+2>0,$$ $$x_1+2>0,$$ то

$$f(x_2)-f(x_1)<0,$$

значит, $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, функция $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ убывает на промежутке $$(-2;+\infty).$$

2) Пусть $$x_1<x_2\le 4.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(8x_2-x_2^2)-(8x_1-x_1^2) =8(x_2-x_1)-(x_2^2-x_1^2)$$

$$=8(x_2-x_1)-(x_2-x_1)(x_2+x_1) =(x_2-x_1)(8-x_2-x_1).$$

Так как $$x_2-x_1>0,$$ а при $$x_1<x_2\le 4$$ имеем $$x_1+x_2\le 8,$$ то

$$f(x_2)-f(x_1)\ge 0.$$

Следовательно, $$f(x_2)\ge f(x_1),$$ значит, функция $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на промежутке $$(-\infty;4].$$

Ответ

1) $$f(x)=\frac{5}{x+2}$$ убывает на $$(-2;+\infty).$$
2) $$f(x)=8x-x^2$$ возрастает на $$(-\infty;4].$$