Упр.76 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция:

1) $$f(x)=\frac{4}{x-1}$$ убывает на промежутке $$(1;+\infty)$$;

2) $$f(x)=x^2-2x$$ возрастает на промежутке $$[1;+\infty)$$.

1) Докажем, что функция $$f(x)=\frac{4}{x-1}$$ убывает на промежутке $$\left(1;+\infty\right).$$

Пусть $$x_2>x_1>1.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=\frac{4}{x_2-1}-\frac{4}{x_1-1} =\frac{4(x_1-1)-4(x_2-1)}{(x_2-1)(x_1-1)} =\frac{4(x_1-x_2)}{(x_2-1)(x_1-1)}.$$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_1-x_2<0,$$ а при $$x_1>1$$ и $$x_2>1$$ знаменатель положителен. Значит,

$$f(x_2)-f(x_1)<0,$$

то есть $$f(x_2)<f(x_1).$$ Следовательно, функция убывает на $$\left(1;+\infty\right).$$

2) Докажем, что функция $$f(x)=x^2-2x$$ возрастает на промежутке $$\left[1;+\infty\right).$$

Пусть $$x_2>x_1\ge 1.$$ Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^2-2x_2)-(x_1^2-2x_1) =(x_2^2-x_1^2)-2(x_2-x_1)$$

$$=(x_2-x_1)(x_2+x_1)-2(x_2-x_1) =(x_2-x_1)\bigl((x_2+x_1)-2\bigr).$$

Так как $$x_2>x_1,$$ то $$x_2-x_1>0.$$ Кроме того, из $$x_1\ge 1$$ и $$x_2>x_1$$ следует, что $$x_2+x_1>2,$$ значит $$\bigl((x_2+x_1)-2\bigr)>0.$$ Поэтому

$$f(x_2)-f(x_1)>0,$$

то есть $$f(x_2)>f(x_1).$$ Следовательно, функция возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$

Ответ: 1) убывает на $$\left(1;+\infty\right);$$ 2) возрастает на $$\left[1;+\infty\right).$$