Упр.67 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Найдите область определения функции:
1) $$f(x)=3x+5$$;
2) $$f(x)=\frac{7}{x+8}$$;
3) $$f(x)=\frac{x-2}{3}$$;
4) $$f(x)=\frac{3x+6}{2x-1}$$;
5) $$f(x)=\sqrt{5-x}$$;
6) $$f(x)=\frac{3}{\sqrt{x+2}}$$;
7) $$f(x)=\frac{2x+1}{x^2-6}$$;
8) $$f(x)=\frac{3}{x^2+9}$$;
9) $$f(x)=\frac{5x+4}{4x^2-x}$$;
10) $$f(x)=\frac{x}{\lvert x\rvert-2}$$;
11) $$f(x)=x-\frac{2}{\lvert x\rvert+4}$$;
12) $$f(x)=\frac{5}{x^2-\lvert x\rvert}$$;
13) $$f(x)=\sqrt{x-3}-\sqrt{6-x}$$;
14) $$f(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x-5}{2x+1}$$;
15) $$f(x)=\sqrt{7-x}-\sqrt{x-7}$$;
16) $$f(x)=\sqrt{x-5}-\frac{3}{\sqrt{4-x}}$$;
17) $$f(x)=\sqrt{x+3}+\frac{x+2}{x^2-9}$$;
18) $$f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}}-\frac{3x-1}{x^2-x-6}$$.
1) Для линейной функции ограничений нет, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x+8\ne 0,\quad x\ne -8.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-8)\cup(-8;+\infty).$$
3) Для линейной функции ограничений нет, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
4) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$2x-1\ne 0,\quad x\ne \frac12.$$
Следовательно,
$$D(f)=\left(-\infty;\frac12\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
5) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$5-x\ge 0,\quad x\le 5.$$
Значит,
$$D(f)=(-\infty;5].$$
6) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$x+2>0,\quad x>-2.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-2;+\infty).$$
7) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-6\ne 0,\quad x^2\ne 6,\quad x\ne \pm\sqrt6.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;-\sqrt6)\cup(-\sqrt6;\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty).$$
8) Знаменатель никогда не равен нулю, так как
$$x^2+9>0$$
при любом $$x\in\mathbb R$$.
Значит,
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
9) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$4x^2-x\ne 0,\quad x(4x-1)\ne 0.$$
Отсюда
$$x\ne 0,\quad x\ne \frac14.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;0)\cup\left(0;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right).$$
10) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$|x|-2\ne 0,\quad |x|\ne 2,\quad x\ne \pm 2.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
11) В знаменателе стоит $$|x|+4$$, а это выражение всегда положительно:
$$|x|+4>0.$$
Значит,
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
12) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-|x|\ne 0.$$
Положим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и
$$t^2-t=t(t-1)\ne 0.$$
Отсюда $$t\ne 0$$ и $$t\ne 1$$, то есть
$$x\ne 0,\quad x\ne \pm 1.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
13) Нужно, чтобы оба корня имели смысл:
$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3,$$
$$6-x\ge 0,\quad x\le 6.$$
Пересечение этих условий:
$$D(f)=[3;6].$$
14) Для корня и дроби получаем систему условий:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2,$$
$$2x+1\ne 0,\quad x\ne -\frac12.$$
Значит,
$$D(f)=[-2;-\tfrac12)\cup\left(-\tfrac12;+\infty\right).$$
15) Нужно, чтобы оба корня имели смысл:
$$7-x\ge 0,\quad x\le 7,$$
$$x-7\ge 0,\quad x\ge 7.$$
Следовательно,
$$D(f)=\{7\}.$$
16) Для корня и дроби:
$$x-5\ge 0,\quad x\ge 5,$$
$$4-x>0,\quad x<4.$$
Эти условия несовместны, значит,
$$D(f)=\varnothing.$$
17) Нужно, чтобы корень и дробь имели смысл:
$$x+3\ge 0,\quad x\ge -3,$$
$$x^2-9\ne 0,\quad x\ne \pm 3.$$
Тогда
$$D(f)=(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
18) Для корня в числителе и знаменателе, а также для дроби:
$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1,$$
$$x+4>0,\quad x>-4,$$
$$x^2-x-6\ne 0,\quad (x-3)(x+2)\ne 0,$$
$$x\ne 3,\quad x\ne -2.$$
С учётом $$x\ge 1$$ получаем
$$D(f)=[1;3)\cup(3;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-8)\cup(-8;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$\left(-\infty;\frac12\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right)$$; 5) $$(-\infty;5]$$; 6) $$(-2;+\infty)$$; 7) $$(-\infty;-\sqrt6)\cup(-\sqrt6;\sqrt6)\cup(\sqrt6;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;+\infty)$$; 9) $$(-\infty;0)\cup\left(0;\frac14\right)\cup\left(\frac14;+\infty\right)$$; 10) $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$; 11) $$(-\infty;+\infty)$$; 12) $$(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty)$$; 13) $$[3;6]$$; 14) $$[-2;-\tfrac12)\cup\left(-\tfrac12;+\infty\right)$$; 15) $$\{7\}$$; 16) $$\varnothing$$; 17) $$(-3;3)\cup(3;+\infty)$$; 18) $$[1;3)\cup(3;+\infty)$$.
