Упр.67 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Найдите область определения функции:
- 1) $$f(x)=2x-17$$; 2) $$f(x)=\frac{3}{x+2}$$; 3) $$f(x)=\frac{x-7}{2}$$; 4) $$f(x)=\frac{x-3}{2x+3}$$; 5) $$f(x)=\sqrt{3+x}$$; 6) $$f(x)=\frac{2}{\sqrt{x-3}}$$; 7) $$f(x)=\frac{x}{x^2-3}$$; 8) $$f(x)=\frac{16}{x^2+16}$$; 9) $$f(x)=\frac{6x+19}{3x+x^2}$$; 10) $$f(x)=\frac{x+3}{\lvert x\rvert-5}$$; 11) $$f(x)=\frac{4}{\lvert x\rvert+6}$$; 12) $$f(x)=\frac{17}{\lvert x\rvert-x^2}$$; 13) $$f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{2-x}$$; 14) $$f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{x+3}{x-10}$$; 15) $$f(x)=\sqrt{x-4}+\sqrt{4-x}$$; 16) $$f(x)=\sqrt{x-3}-\frac{x-2}{\sqrt{2-x}}$$; 17) $$f(x)=\sqrt{x-4}+\frac{x-12}{x^2-16}$$; 18) $$f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+5}}+\frac{2x-3}{x^2-x-12}$$.
1) Для линейной функции ограничений нет, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x+2\ne 0,\quad x\ne -2.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
3) Для линейной функции ограничений нет, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
4) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$2x+3\ne 0,\quad x\ne -\frac{3}{2}.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2};+\infty).$$
5) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$3+x\ge 0,\quad x\ge -3.$$
Значит,
$$D(f)=[-3;+\infty).$$
6) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$x-3>0,\quad x>3.$$
Следовательно,
$$D(f)=(3;+\infty).$$
7) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-3\ne 0,\quad x^2\ne 3,\quad x\ne \pm\sqrt{3}.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;-\sqrt{3})\cup(-\sqrt{3};\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};+\infty).$$
8) Знаменатель всегда положителен:
$$x^2+16>0$$
при любом $$x$$, значит
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
9) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$3x+x^2=x(x+3)\ne 0,$$
откуда
$$x\ne 0,\quad x\ne -3.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;0)\cup(0;+\infty).$$
10) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$|x|-5\ne 0,\quad |x|\ne 5,\quad x\ne \pm 5.$$
Значит,
$$D(f)=(-\infty;-5)\cup(-5;5)\cup(5;+\infty).$$
11) В знаменателе стоит выражение $$|x|+6$$, а оно всегда положительно, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
12) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$|x|-x^2\ne 0.$$
Решим уравнение $$|x|=x^2$$. Пусть $$t=|x|\ge 0$$, тогда
$$t=t^2,\quad t(t-1)=0,\quad t=0 \text{ или } t=1.$$
Отсюда
$$x=0,\ \pm 1.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
13) Нужно, чтобы оба корня имели смысл:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2,$$
$$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$
Пересечение условий:
$$D(f)=[-2;2].$$
14) Нужно, чтобы
$$x-1\ge 0,\quad x\ge 1,$$
и
$$x-10\ne 0,\quad x\ne 10.$$
Тогда
$$D(f)=[1;10)\cup(10;+\infty).$$
15) Оба корня должны существовать:
$$x-4\ge 0,\quad x\ge 4,$$
$$4-x\ge 0,\quad x\le 4.$$
Значит,
$$D(f)=\{4\}.$$
16) Для первого корня нужно
$$x-3\ge 0,\quad x\ge 3,$$
а для знаменателя дроби
$$2-x>0,\quad x<2.$$
Эти условия несовместны, поэтому
$$D(f)=\varnothing.$$
17) Нужно, чтобы
$$x-4\ge 0,\quad x\ge 4,$$
и
$$x^2-16\ne 0,\quad x\ne \pm 4.$$
С учётом $$x\ge 4$$ получаем
$$D(f)=(4;+\infty).$$
18) Для корней и знаменателя должны выполняться условия:
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2,$$
$$x+5>0,\quad x>-5,$$
$$x^2-x-12\ne 0.$$
Разложим квадратный трёхчлен:
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$
Значит,
$$x\ne 4,\quad x\ne -3.$$
С учётом $$x\ge -2$$ получаем
$$D(f)=[-2;-3)\cup(-3;4)\cup(4;+\infty).$$
Так как $$-3<-2$$, то окончательно
$$D(f)=[-2;4)\cup(4;+\infty).$$
