Упр.67 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Найдите область определения функции:
1) $$f(x)=4x-13$$;
2) $$f(x)=\frac{7}{x+6}$$;
3) $$f(x)=\frac{x+10}{8}$$;
4) $$f(x)=\frac{x+4}{x-5}$$;
5) $$f(x)=\sqrt{x-5}$$;
6) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x}}$$;
7) $$f(x)=\frac{9}{x^2-5}$$;
8) $$f(x)=\frac{14}{x^2+4}$$;
9) $$f(x)=\frac{7x+13}{x^2-7x}$$;
10) $$f(x)=\frac{x}{|x|-3}$$;
11) $$f(x)=\frac{9}{|x|+5}$$;
12) $$f(x)=\frac{13}{|x|+x^2}$$;
13) $$f(x)=\sqrt{x+5}+\sqrt{3-x}$$;
14) $$f(x)=\sqrt{2-x}-\frac{x-3}{x+5}$$;
15) $$f(x)=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}$$;
16) $$f(x)=\sqrt{x-9}+\frac{6}{\sqrt{8-x}}$$;
17) $$f(x)=\sqrt{x+2}+\frac{x-7}{x^2-4}$$;
18) $$f(x)=\frac{\sqrt{x-6}}{\sqrt{x+3}}+\frac{5x-4}{x^2-8x+7}$$.
1) Для линейной функции ограничений нет, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
2) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x+6\ne 0,\quad x\ne -6.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-6)\cup(-6;+\infty).$$
3) Деление на число $$8$$ определено при всех $$x$$, значит
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
4) Знаменатель не равен нулю:
$$x-5\ne 0,\quad x\ne 5.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
5) Подкоренное выражение неотрицательно:
$$x-5\ge 0,\quad x\ge 5.$$
Значит,
$$D(f)=[5;+\infty).$$
6) Подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$4-x>0,\quad x<4.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;4).$$
7) Знаменатель не должен быть равен нулю:
$$x^2-5\ne 0,\quad x^2\ne 5,\quad x\ne \pm\sqrt5.$$
Тогда
$$D(f)=(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty).$$
8) Для всех действительных $$x$$ знаменатель $$x^2+4$$ не равен нулю, поэтому
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
9) Знаменатель не равен нулю:
$$x^2-7x\ne 0,\quad x(x-7)\ne 0,\quad x\ne 0,\; x\ne 7.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;7)\cup(7;+\infty).$$
10) Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$|x|-3\ne 0,\quad |x|\ne 3,\quad x\ne \pm 3.$$
Значит,
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty).$$
11) Так как $$|x|+5>0$$ при любом $$x$$, то
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
12) В знаменателе стоит сумма $$|x|+x^2$$, она равна нулю только при $$x=0$$. Поэтому
$$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
13) Оба корня должны существовать:
$$x+5\ge 0,\quad x\ge -5;$$
$$3-x\ge 0,\quad x\le 3.$$
Тогда
$$D(f)=[-5;3].$$
14) Нужно, чтобы выполнялись условия:
$$2-x\ge 0,\quad x\le 2;$$
$$x+5\ne 0,\quad x\ne -5.$$
Следовательно,
$$D(f)=(-\infty;-5)\cup(-5;2].$$
15) Оба корня должны быть определены:
$$x-2\ge 0,\quad x\ge 2;$$
$$2-x\ge 0,\quad x\le 2.$$
Значит,
$$D(f)=\{2\}.$$
16) Для первого корня нужно $$x-9\ge 0$$, то есть $$x\ge 9$$. Для второго слагаемого требуется
$$8-x>0,\quad x<8.$$
Одновременно эти условия не выполняются, поэтому
$$D(f)=\varnothing.$$
17) Нужно, чтобы
$$x+2\ge 0,\quad x\ge -2;$$
$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2.$$
Тогда
$$D(f)=(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
18) Для корня в числителе и знаменателе нужно
$$x-6\ge 0,\quad x\ge 6;$$
$$x+3>0,\quad x>-3.$$
Кроме того, знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:
$$x^2-8x+7\ne 0,$$
$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7),$$
$$x\ne 1,\; x\ne 7.$$
С учётом условия $$x\ge 6$$ получаем
$$D(f)=[6;7)\cup(7;+\infty).$$
Ответ:
1) $$(-\infty;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;-6)\cup(-6;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; 5) $$[5;+\infty)$$; 6) $$(-\infty;4)$$; 7) $$(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty)$$; 8) $$(-\infty;+\infty)$$; 9) $$(-\infty;0)\cup(0;7)\cup(7;+\infty)$$; 10) $$(-\infty;-3)\cup(-3;3)\cup(3;+\infty)$$; 11) $$(-\infty;+\infty)$$; 12) $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; 13) $$[-5;3]$$; 14) $$(-\infty;-5)\cup(-5;2]$$; 15) $$\{2\}$$; 16) $$\varnothing$$; 17) $$(-2;2)\cup(2;+\infty)$$; 18) $$[6;7)\cup(7;+\infty)$$.
