Упр.61 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ один из корней уравнения $$3x^2 — (7a + 2)x + 2a^2 + 4a = 0$$ меньше $$0$$, а другой — больше $$1$$?

Рассмотрим уравнение

$$3x^2-(7a+2)x+2a^2+4a=0.$$

Найдём его корни по формуле:

$$D=(7a+2)^2-4\cdot 3\cdot(2a^2+4a)=49a^2+28a+4-24a^2-48a=25a^2-20a+4=(5a-2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{7a+2\pm(5a-2)}{6}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{7a+2-(5a-2)}{6}=\frac{2a+4}{6}=\frac{a+2}{3},$$

$$x_2=\frac{7a+2+(5a-2)}{6}=\frac{12a}{6}=2a.$$

По условию один корень меньше $$0$$, а другой больше $$1$$. Возможны два случая:

1. $$\frac{a+2}{3}<0,\quad 2a>1.$$

   Тогда

   $$a<-2,\quad a>\frac12,$$

   что невозможно.

2. $$\frac{a+2}{3}>1,\quad 2a<0.$$

   Тогда

   $$a>1,\quad a<0,$$

   что тоже невозможно.

Следовательно, таких значений $$a$$ не существует.

Ответ

Нет таких значений $$a$$.