Упр.61 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ один из корней уравнения $$2x^2-(3a+5)x+a^2+2a-3=0$$ меньше 3, а другой — больше 5?

Рассмотрим уравнение

$$2x^2-(3a+5)x+a^2+2a-3=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(3a+5)^2-4\cdot 2\cdot (a^2+2a-3)$$

$$D=9a^2+30a+25-8a^2-16a+24=a^2+14a+49=(a+7)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_1=\frac{(3a+5)-(a+7)}{2\cdot 2}=\frac{2a-2}{4}=\frac{a-1}{2},$$

$$x_2=\frac{(3a+5)+(a+7)}{2\cdot 2}=\frac{4a+12}{4}=a+3.$$

По условию один корень меньше $$3$$, а другой больше $$5$$. Получаем систему:

$$\frac{a-1}{2}<3,\qquad a+3>5.$$

Решаем неравенства:

$$a-1<6,\qquad a>2,$$

$$a<7,\qquad a>2.$$

Следовательно,

$$2<a<7.$$

Ответ

$$a\in(2;7).$$