Упр.60 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2-4ax+3a^2+2a-1=0$$ принадлежат промежутку $$[3;10]$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-4ax+3a^2+2a-1=0.$$

Найдём его корни. Дискриминант:

$$D=(-4a)^2-4(3a^2+2a-1)=16a^2-12a^2-8a+4=4a^2-8a+4=(2a-2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{4a\pm(2a-2)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{4a-(2a-2)}{2}=a+1,$$

$$x_2=\frac{4a+(2a-2)}{2}=3a-1.$$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[3;10].$$ Значит,

$$3\le a+1\le 10,$$

$$3\le 3a-1\le 10.$$

Из первого неравенства:

$$2\le a\le 9.$$

Из второго неравенства:

$$4\le 3a\le 11,$$

$$\frac{4}{3}\le a\le \frac{11}{3}.$$

Пересечение полученных промежутков:

$$a\in\left[2;\frac{11}{3}\right].$$

Ответ

$$a\in\left[2;\frac{11}{3}\right].$$