Упр.60 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2-(5a-2)x+6a^2-4a=0$$ принадлежат промежутку $$[4; 7]$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(5a-2)x+6a^2-4a=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(5a-2)^2-4(6a^2-4a)=25a^2-20a+4-24a^2+16a=(a-2)^2.$$

Тогда корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{5a-2\pm(a-2)}{2}.$$

Получаем

$$x_1=\frac{5a-2-(a-2)}{2}=\frac{4a}{2}=2a,$$

$$x_2=\frac{5a-2+(a-2)}{2}=\frac{6a-4}{2}=3a-2.$$

По условию оба корня принадлежат промежутку $$[4;7]$$, значит

$$\begin{cases} 2a\ge 4,\\ 3a-2\ge 4, \end{cases} \qquad \begin{cases} 2a\le 7,\\ 3a-2\le 7. \end{cases}$$

Из первого неравенства системы получаем $$a\ge 2$$ и $$a\ge 2$$, а из второго — $$a\le \frac{7}{2}$$ и $$a\le 3.$$

Совмещая условия, имеем

$$a\in[2;3].$$

Ответ: $$a\in[2;3].$$