Упр.60 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2-(3a+1)x+2a^2+4a-6=0$$ принадлежат промежутку $$[2;9]$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(3a+1)x+2a^2+4a-6=0.$$

Найдём его корни по теореме Виета. Сначала вычислим дискриминант:

$$D=(3a+1)^2-4(2a^2+4a-6)=9a^2+6a+1-8a^2-16a+24=(a-5)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{3a+1\pm(a-5)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3a+1-(a-5)}{2}=a+3,$$

$$x_2=\frac{3a+1+(a-5)}{2}=2a-2.$$

По условию оба корня должны принадлежать промежутку $$[2;9].$$ Значит, должны выполняться неравенства:

$$2\le a+3\le 9,$$

$$2\le 2a-2\le 9.$$

Решим их:

$$2\le a+3\le 9 \;\Rightarrow\; -1\le a\le 6,$$

$$2\le 2a-2\le 9 \;\Rightarrow\; 4\le 2a\le 11 \;\Rightarrow\; 2\le a\le 5{,}5.$$

Пересечение полученных промежутков:

$$a\in[2;5{,}5].$$

Ответ: $$a\in[2;5{,}5].$$