Контрольная работа 6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

$$7(2x-3)\le 10x+19$$

$$14x-21\le 10x+19$$

$$14x-10x\le 19+21$$

$$4x\le 40$$

$$x\le 10$$

Ответ: $$x\in(-\infty;10]$$.

Ход решения

Функция $$y=5+4x-x^2$$ — парабола, ветви направлены вниз. Найдём вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

$$y_0=5+4\cdot 2-2^2=9.$$

Значит, вершина параболы — точка $$\left(2;9\right)$$. Для построения удобно отметить ещё несколько точек, например:

Парабола возрастает до вершины, значит промежуток возрастания:

$$x\in(-\infty;2].$$

Чтобы решить неравенство $$5+4x-x^2\ge 0$$, найдём нули функции:

$$5+4x-x^2=0$$

$$x^2-4x-5=0$$

$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0,$$

откуда $$x=-1$$ и $$x=5$$. Так как ветви параболы направлены вниз, то $$5+4x-x^2\ge 0$$ на отрезке между корнями:

$$x\in[-1;5].$$

Ход решения

Из первого уравнения выразим $$y$$:

$$x-y=3,$$

$$y=x-3.$$

Подставим во второе уравнение:

$$x^2-xy-2y^2=7,$$

$$x^2-x(x-3)-2(x-3)^2=7,$$

$$x^2-x^2+3x-2(x^2-6x+9)=7,$$

$$3x-2x^2+12x-18=7,$$

$$2x^2-15x+25=0.$$

$$D=15^2-4\cdot 2\cdot 25=225-200=25,$$

$$x_1=\frac{15-5}{4}=\frac{10}{4}=2{,}5,\qquad x_2=\frac{15+5}{4}=\frac{20}{4}=5.$$

Тогда

$$y_1=2{,}5-3=-0{,}5,\qquad y_2=5-3=2.$$

Ответ: $$\left(2{,}5;-0{,}5\right),\ \left(5;2\right).$$

Ход решения

Пусть $$a_1$$ — первый член, $$d$$ — разность прогрессии. Тогда

$$a_5=a_1+4d=-0{,}8,$$

$$a_{11}=a_1+10d=-5.$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$6d=-4{,}2,$$

$$d=-0{,}7.$$

Тогда

$$a_1=-0{,}8-4\cdot(-0{,}7)=2.$$

Найдём сумму первых двадцати членов:

$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20,$$

$$S_{20}=10\left(2\cdot 2+19\cdot(-0{,}7)\right),$$

$$S_{20}=10(4-13{,}3)=-93.$$

Ответ: $$-93.$$

Ход решения

Пусть первый рабочий выполняет работу за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда их производительности равны $$\frac1x$$ и $$\frac1y$$.

По условию:

$$\frac1x+\frac1y=\frac14.$$

Если первый выполнит треть работы, а затем второй закончит её, то получим:

$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=10,$$

то есть

$$x+2y=30.$$

Из первого уравнения:

$$\frac{x+y}{xy}=\frac14,$$

$$4x+4y=xy.$$

Подставим $$x=30-2y$$:

$$4(30-2y)+4y=y(30-2y),$$

$$120-8y+4y=30y-2y^2,$$

$$2y^2-34y+120=0,$$

$$y^2-17y+60=0,$$

$$\left(y-5\right)\left(y-12\right)=0.$$

Значит, $$y=5$$ или $$y=12$$. Тогда

$$x=30-2\cdot 5=20,$$

или

$$x=30-2\cdot 12=6.$$

Ответ: $$20$$ дней и $$5$$ дней; или $$6$$ дней и $$12$$ дней.

Ход решения

Для того чтобы квадратное уравнение

$$x^2+(a+5)x+1=0$$

имело два различных действительных корня, нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D=(a+5)^2-4>0.$$

$$a^2+10a+25-4>0,$$

$$a^2+10a+21>0,$$

$$\left(a+7\right)\left(a+3\right)>0.$$

Произведение положительно, если

$$a<-7$$

или

$$a>-3.$$

Ответ: $$a\in(-\infty;-7)\cup(-3;+\infty).$$

Ход решения

На карточках записаны числа $$5,6,7,8$$. Всего способов выбрать 2 карточки:

$$C_4^2=6.$$

Сумма будет нечётной, если одно число чётное, а другое нечётное. Чётные числа: $$6,8$$, нечётные: $$5,7$$.

Благоприятные пары:

$$\left(5,6\right),\ \left(5,8\right),\ \left(7,6\right),\ \left(7,8\right).$$

Их 4, значит

$$P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.$$

Ответ: $$\frac{2}{3}.$$