Упр.6 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство:
   
   1) $$(a+2b)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4,$$ если $$a>0,\ b>0$$;
   
   2) $$(a+2)(b+8)(c+4)\ge 64\sqrt{abc},$$ если $$a\ge 0,\ b\ge 0,\ c\ge 0$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$(a+2b)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)-4 = \frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2+\frac{1}{2} = \frac{2a^2+2b^2-4ab+ab}{2ab} = \frac{2(a-b)^2+ab}{2ab}.$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0,$$ то $$2ab>0,$$ а также $$2(a-b)^2+ab\ge 0.$$ Значит,

$$(a+2b)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$

2) Используем неравенство $$x+y\ge 2\sqrt{xy}$$ для неотрицательных чисел:

$$a+2 \ge 2\sqrt{2a}, \qquad b+8 \ge 2\sqrt{8b}, \qquad c+4 \ge 2\sqrt{4c}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$(a+2)(b+8)(c+4)\ge 2\sqrt{2a}\cdot 2\sqrt{8b}\cdot 2\sqrt{4c}.$$

$$(a+2)(b+8)(c+4)\ge 8\sqrt{64abc}=64\sqrt{abc}.$$

Следовательно,

$$(a+2)(b+8)(c+4)\ge 64\sqrt{abc}.$$

Ответ

1) $$\,(a+2b)\left(\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$
2) $$\,(a+2)(b+8)(c+4)\ge 64\sqrt{abc}.$$