Упр.6 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство:
   1) $$\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\geq 4$$, если $$x>0$$ и $$y>0$$;
   2) $$(x+1)(y+2)(z+8)\geq 32\sqrt{xyz}$$, если $$x\geq 0$$, $$y\geq 0$$ и $$z\geq 0$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)-4 = \frac{xy+1}{y}\cdot \frac{xy+1}{x}-4 = \frac{(xy+1)^2}{xy}-4$$

$$= \frac{(xy)^2+2xy+1-4xy}{xy} = \frac{(xy-1)^2}{xy}\ge 0.$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0,$$ то $$xy>0.$$ Следовательно,

$$\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)\ge 4.$$

2) Докажем неравенство

$$(x+1)(y+2)(z+8)\ge 32\sqrt{xyz}, \qquad x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0.$$

По неравенству $$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$ получаем:

$$x+1\ge 2\sqrt{x}, \qquad y+2\ge 2\sqrt{2y}, \qquad z+8\ge 2\sqrt{8z}.$$

Тогда

$$(x+1)(y+2)(z+8)\ge 2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{2y}\cdot 2\sqrt{8z}.$$

$$2\sqrt{x}\cdot 2\sqrt{2y}\cdot 2\sqrt{8z} = 8\sqrt{16xyz} = 32\sqrt{xyz}.$$

Значит,

$$(x+1)(y+2)(z+8)\ge 32\sqrt{xyz}.$$

Ответ: 1) $$\left(x+\frac1y\right)\left(y+\frac1x\right)\ge 4$$; 2) $$(x+1)(y+2)(z+8)\ge 32\sqrt{xyz}.$$