Упр.6 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство:
   1) $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geq 4,$$ если $$a>0$$ и $$b>0$$;
   2) $$(a+6)(b+3)(c+2)\geq 48\sqrt{abc},$$ если $$a\geq 0$$, $$b\geq 0$$ и $$c\geq 0$$.

1) Рассмотрим разность:

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)-4 =1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1-4 =\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2 =\frac{a^2-2ab+b^2}{ab} =\frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0,$$

так как $$a>0$$ и $$b>0$$, значит $$ab>0$$.

Следовательно,

$$(a+b)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4.$$

2) Так как $$a\ge 0$$, $$b\ge 0$$ и $$c\ge 0$$, то

$$a+6-2\sqrt{6a}=(\sqrt a-\sqrt6)^2\ge 0,$$

откуда

$$a+6\ge 2\sqrt{6a}.$$

Аналогично:

$$b+3-2\sqrt{3b}=(\sqrt b-\sqrt3)^2\ge 0,$$

значит

$$b+3\ge 2\sqrt{3b},$$

и

$$c+2-2\sqrt{2c}=(\sqrt c-\sqrt2)^2\ge 0,$$

значит

$$c+2\ge 2\sqrt{2c}.$$

Перемножим неравенства:

$$(a+6)(b+3)(c+2)\ge 2\sqrt{6a}\cdot 2\sqrt{3b}\cdot 2\sqrt{2c}.$$

Тогда

$$(a+6)(b+3)(c+2)\ge 8\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\,abc} =8\sqrt{36abc} =48\sqrt{abc}.$$

Следовательно,

$$(a+6)(b+3)(c+2)\ge 48\sqrt{abc}.$$

Ответ

1) $$\left(a+b\right)\left(\frac1a+\frac1b\right)\ge 4$$; 2) $$(a+6)(b+3)(c+2)\ge 48\sqrt{abc}$$.