Упр.59 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2-(a+1)x-2a^2-a=0$$ оба меньше числа 5?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(a+1)x-2a^2-a=0.$$

Найдём его корни по формуле:

$$D=(a+1)^2-4\cdot 1\cdot(-2a^2-a)=(a+1)^2+8a^2+4a=9a^2+6a+1=(3a+1)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{a+1\pm(3a+1)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{a+1-(3a+1)}{2}=-a,$$

$$x_2=\frac{a+1+(3a+1)}{2}=2a+1.$$

По условию оба корня должны быть меньше $$5$$:

$$-a<5,$$

$$2a+1<5.$$

Решим неравенства:

$$a>-5,$$

$$2a<4,$$

$$a<2.$$

Совмещая условия, получаем:

$$-5<a<2.$$

Ответ: $$a\in(-5;2).$$