Упр.59 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ корни уравнения $$x^2-(3a+2)x+8a-4a^2=0$$ больше числа $$-7$$?

Рассмотрим уравнение

$$x^2-(3a+2)x+8a-4a^2=0.$$

Найдём его корни по формуле Виета. Сначала вычислим дискриминант:

$$D=(3a+2)^2-4(8a-4a^2)=9a^2+12a+4-32a+16a^2=(5a-2)^2.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{3a+2\pm(5a-2)}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=\frac{3a+2-(5a-2)}{2}=\frac{-2a+4}{2}=2-a,$$

$$x_2=\frac{3a+2+(5a-2)}{2}=\frac{8a}{2}=4a.$$

По условию оба корня должны быть больше числа $$-7$$, значит:

$$2-a>-7,$$

$$4a>-7.$$

Решаем неравенства:

$$a<9,$$

$$a>-\frac{7}{4}.$$

Пересекаем полученные промежутки:

$$-\frac{7}{4}<a<9.$$

Ответ: $$a\in\left(-\frac{7}{4};\,9\right).$$