Упр.57 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$|x+4|+2x\geq7$$;
   2) $$|x-3|-2x<9$$;
   3) $$|x+5|+|x-3|\leq8$$;
   4) $$|x+4|+|x-2|>6$$;
   5) $$|x+3{,}5|-|x-2{,}5|\leq5$$;
   6) $$|4x+3|-|x-2|>3$$.

1) Рассмотрим случаи.

Если $$x \ge -4,$$ то $$|x+4|=x+4,$$ и тогда

$$x+4+2x \ge 7$$
$$3x \ge 3$$
$$x \ge 1.$$

Если $$x<-4,$$ то $$|x+4|=-(x+4),$$ и тогда

$$-(x+4)+2x \ge 7$$
$$x-4 \ge 7$$
$$x \ge 11,$$

что невозможно при $$x<-4.$$

Ответ: $$x \in [1;+\infty).$$

2) Если $$x \ge 3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и

$$x-3-2x<9$$
$$-x<12$$
$$x>-12.$$

С учётом условия $$x \ge 3$$ получаем $$x \in [3;+\infty).$$

Если $$x<3,$$ то $$|x-3|=-(x-3),$$ и

$$-(x-3)-2x<9$$
$$-3x+3<9$$
$$-3x<6$$
$$x>-2.$$

С учётом условия $$x<3$$ получаем $$x \in (-2;3).$$

Объединяя, имеем $$x \in (-2;+\infty).$$

Ответ: $$x \in (-2;+\infty).$$

3) Рассмотрим промежутки, где меняются знаки выражений под модулями.

Если $$x \ge 3,$$ то

$$|x+5|+|x-3|=(x+5)+(x-3)\le 8$$
$$2x+2\le 8$$
$$x\le 3.$$

Значит, $$x=3.$$

Если $$-5\le x<3,$$ то

$$|x+5|+|x-3|=(x+5)-(x-3)\le 8$$
$$8\le 8,$$

то есть неравенство верно при всех таких $$x.$$

Если $$x<-5,$$ то

$$|x+5|+|x-3|=-(x+5)-(x-3)\le 8$$
$$-2x-2\le 8$$
$$x\ge -5,$$

что невозможно при $$x<-5.$$

Следовательно, $$x \in [-5;3].$$

Ответ: $$x \in [-5;3].$$

4) Если $$x \ge 2,$$ то

$$|x+4|+|x-2|=(x+4)+(x-2)>6$$
$$2x+2>6$$
$$x>2.$$

Если $$-4\le x<2,$$ то

$$|x+4|+|x-2|=(x+4)-(x-2)>6$$
$$6>6,$$

что неверно.

Если $$x<-4,$$ то

$$|x+4|+|x-2|=-(x+4)-(x-2)>6$$
$$-2x-2>6$$
$$-2x>8$$
$$x<-4.$$

Это условие выполняется для всех $$x<-4.$$

Итак, $$x \in (-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$

Ответ: $$x \in (-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$

5) Если $$x \ge 2{,}5,$$ то

$$|x+3{,}5|-|x-2{,}5|=(x+3{,}5)-(x-2{,}5)\le 5$$
$$6\le 5,$$

что неверно.

Если $$-3{,}5\le x<2{,}5,$$ то

$$|x+3{,}5|-|x-2{,}5|=(x+3{,}5)+(x-2{,}5)\le 5$$
$$2x+1\le 5$$
$$x\le 2.$$

Если $$x<-3{,}5,$$ то

$$|x+3{,}5|-|x-2{,}5|=-(x+3{,}5)+(x-2{,}5)\le 5$$
$$-6\le 5,$$

что верно при всех таких $$x.$$

Следовательно, $$x \in (-\infty;2].$$

Ответ: $$x \in (-\infty;2].$$

6) Рассмотрим случаи.

Если $$x \ge 2,$$ то

$$|4x+3|-|x-2|=(4x+3)-(x-2)>3$$
$$3x+5>3$$
$$3x>-2$$
$$x>-\frac{2}{3}.$$

С учётом условия $$x \ge 2$$ получаем $$x \in [2;+\infty).$$

Если $$-0{,}75\le x<2,$$ то

$$|4x+3|-|x-2|=(4x+3)+(x-2)>3$$
$$5x+1>3$$
$$5x>2$$
$$x>0{,}4.$$

Значит, $$x \in (0{,}4;2).$$

Если $$x<-0{,}75,$$ то

$$|4x+3|-|x-2|=-(4x+3)+(x-2)>3$$
$$-3x-5>3$$
$$-3x>8$$
$$x<-\frac{8}{3}.$$

Итак, $$x \in (-\infty;-\frac{8}{3})\cup(0{,}4;+\infty).$$

Ответ: $$x \in (-\infty;-\frac{8}{3})\cup(0{,}4;+\infty).$$