Упр.57 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство: 1) $$|x+3|+4x\geq 6$$; 2) $$|x-4|-5x<12$$; 3) $$|x+3|+|x-3|\leq 6$$; 4) $$|x+2|+|x-3|>4$$; 5) $$|x+2{,}2|-|x-1{,}8|\leq 2$$; 6) $$|3x+16|-|2x-14|>8$$.
1) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge -3,$$ то $$|x+3|=x+3,$$ и
$$x+3+4x \ge 6 \\\\ 5x \ge 3 \\\\ x \ge 0{,}6.$$
Если $$x<-3,$$ то $$|x+3|=-(x+3),$$ и
$$-(x+3)+4x \ge 6 \\\\ 3x-3 \ge 6 \\\\ 3x \ge 9 \\\\ x \ge 3,$$
что противоречит условию $$x<-3.$$
Значит, $$x \in [0{,}6; +\infty).$$
2) Если $$x \ge 4,$$ то $$|x-4|=x-4,$$ и
$$x-4-5x<12 \\\\ -4x<16 \\\\ x>-4.$$
С учётом $$x \ge 4$$ получаем $$x \in [4; +\infty).$$
Если $$x<4,$$ то $$|x-4|=-(x-4),$$ и
$$-(x-4)-5x<12 \\\\ -6x+4<12 \\\\ -6x<8 \\\\ x>-\frac{4}{3}.$$
С учётом $$x<4$$ получаем $$x \in \left(-\frac{4}{3}; 4\right).$$
Объединяя, имеем $$x \in \left(-\frac{4}{3}; +\infty\right).$$
3) Рассмотрим промежутки, заданные точками $$-3$$ и $$3.$$
Если $$x \ge 3,$$ то
$$|x+3|+|x-3|=(x+3)+(x-3)=2x,$$
и тогда
$$2x \le 6 \\\\ x \le 3.$$
Значит, $$x=3.$$
Если $$-3 \le x<3,$$ то
$$|x+3|+|x-3|=(x+3)-(x-3)=6,$$
и неравенство $$6 \le 6$$ верно при всех таких $$x.$$
Если $$x<-3,$$ то
$$|x+3|+|x-3|=-(x+3)- (x-3)=-2x,$$
и
$$-2x \le 6 \\\\ x \ge -3.$$
Это противоречит условию $$x<-3.$$
Следовательно, $$x \in [-3; 3].$$
4) Если $$x \ge 3,$$ то
$$|x+2|+|x-3|=(x+2)+(x-3)=2x-1,$$
и
$$2x-1>4 \\\\ 2x>5 \\\\ x>2{,}5.$$
С учётом $$x \ge 3$$ это условие выполняется.
Если $$-2 \le x<3,$$ то
$$|x+2|+|x-3|=(x+2)-(x-3)=5,$$
а значит, $$5>4$$ верно при всех таких $$x.$$
Если $$x<-2,$$ то
$$|x+2|+|x-3|=-(x+2)- (x-3)=-2x+1,$$
и
$$-2x+1>4 \\\\ -2x>3 \\\\ x<-1{,}5.$$
С учётом $$x<-2$$ это также верно для всех таких $$x.$$
Следовательно, $$x \in (-\infty; +\infty).$$
5) Если $$x \ge 1{,}8,$$ то
$$|x+2{,}2|-|x-1{,}8|=(x+2{,}2)-(x-1{,}8)=4,$$
а значит, $$4 \le 2$$ — неверно. Решений здесь нет.
Если $$-2{,}2 \le x<1{,}8,$$ то
$$|x+2{,}2|-|x-1{,}8|=(x+2{,}2)-(1{,}8-x)=2x+0{,}4,$$
и
$$2x+0{,}4 \le 2 \\\\ 2x \le 1{,}6 \\\\ x \le 0{,}8.$$
С учётом промежутка получаем $$x \in [-2{,}2; 0{,}8].$$
Если $$x<-2{,}2,$$ то
$$|x+2{,}2|-|x-1{,}8|=-(x+2{,}2)-(1{,}8-x)=-4,$$
а значит, $$-4 \le 2$$ верно при всех таких $$x.$$
Итак, $$x \in (-\infty; 0{,}8].$$
6) Если $$x \ge 7,$$ то
$$|3x+16|-|2x-14|=(3x+16)-(2x-14)=x+30,$$
и
$$x+30>8 \\\\ x>-22.$$
С учётом $$x \ge 7$$ это верно для всех таких $$x.$$
Если $$-\frac{16}{3} \le x<7,$$ то
$$|3x+16|-|2x-14|=(3x+16)+(2x-14)=5x+2,$$
и
$$5x+2>8 \\\\ 5x>6 \\\\ x>{,}2.$$
Значит, $$x \in (1{,}2; 7).$$
Если $$x<-\frac{16}{3},$$ то
$$|3x+16|-|2x-14|=-(3x+16)+(2x-14)=-x-30,$$
и
$$-x-30>8 \\\\ -x>38 \\\\ x<-38.$$
Следовательно, $$x \in (-\infty; -38) \cup (1{,}2; +\infty).$$
Ответ
1) $$x \in [0{,}6; +\infty)$$; 2) $$x \in \left(-\frac{4}{3}; +\infty\right)$$; 3) $$x \in [-3; 3]$$; 4) $$x \in (-\infty; +\infty)$$; 5) $$x \in (-\infty; 0{,}8]$$; 6) $$x \in (-\infty; -38) \cup (1{,}2; +\infty).$$
