Упр.57 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

• 1) $$|x+2|+3x>5$$;
  4) $$|x+3|+|x-4|>6$$;
  2) $$|x-6|-7x<18$$;
  5) $$|x+2{,}5|-|x-1{,}5|<3$$;
  3) $$|x+1|+|x-1|<6$$;
  6) $$|3x+8|-|2x-7|>4$$.

1) Рассмотрим случаи по знаку выражения под модулем:

$$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2$$
Если $$x\ge -2,$$ то
$$|x+2|+3x\ge 5$$
$$(x+2)+3x\ge 5$$
$$4x\ge 3$$
$$x\ge 0{,}75.$$
Если $$x<-2,$$ то
$$-(x+2)+3x\ge 5$$
$$2x-2\ge 5$$
$$2x\ge 7$$
$$x\ge 3{,}5,$$
что противоречит условию $$x<-2.$$
Значит,
$$x\in [0{,}75;+\infty).$$

2)

$$x-6\ge 0 \Rightarrow x\ge 6$$
Если $$x\ge 6,$$ то
$$|x-6|-7x<18$$
$$(x-6)-7x<18$$
$$-6x-6<18$$
$$-6x<24$$
$$x>-4.$$
С учётом $$x\ge 6$$ получаем $$x\in [6;+\infty).$$

Если $$x<6,$$ то
$$-(x-6)-7x<18$$
$$-8x+6<18$$
$$-8x<12$$
$$x>-1{,}5.$$
С учётом $$x<6$$ получаем $$x\in (-1{,}5;6).$$

Итак,
$$x\in (-1{,}5;+\infty).$$

3)

$$x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1,\qquad x-1\ge 0 \Rightarrow x\ge 1$$
Если $$x\ge 1,$$ то
$$|x+1|+|x-1|<6$$
$$(x+1)+(x-1)<6$$
$$2x<6$$
$$x<3.$$
Если $$-1\le x<1,$$ то
$$(x+1)-(x-1)<6$$
$$2<6,$$
что верно при всех таких $$x.$$
Если $$x<-1,$$ то
$$-(x+1)- (x-1)<6$$
$$-2x<8$$
$$x>-4.$$
С учётом $$x<-1$$ получаем $$x\in (-4;-1).$$

Объединяя все случаи, получаем
$$x\in (-4;3).$$

4)

$$x+3\ge 0 \Rightarrow x\ge -3,\qquad x-4\ge 0 \Rightarrow x\ge 4$$
Если $$x\ge 4,$$ то
$$|x+3|+|x-4|>6$$
$$(x+3)+(x-4)>6$$
$$2x-1>6$$
$$x>3{,}5.$$
С учётом $$x\ge 4$$ это верно для всех $$x\ge 4.$$
Если $$-3\le x<4,$$ то
$$(x+3)-(x-4)>6$$
$$7>6,$$
то есть неравенство верно при всех таких $$x.$$
Если $$x<-3,$$ то
$$-(x+3)- (x-4)>6$$
$$-2x+1>6$$
$$-2x>5$$
$$x<-2{,}5.$$
С учётом $$x<-3$$ это верно для всех $$x<-3.$$
Значит,
$$x\in \mathbb{R}.$$

5)

$$x+2{,}5\ge 0 \Rightarrow x\ge -2{,}5,\qquad x-1{,}5\ge 0 \Rightarrow x\ge 1{,}5$$
Если $$x\ge 1{,}5,$$ то
$$|x+2{,}5|-|x-1{,}5|<3$$
$$(x+2{,}5)-(x-1{,}5)<3$$
$$4<3,$$
что невозможно.
Если $$-2{,}5\le x<1{,}5,$$ то
$$(x+2{,}5)-(-x+1{,}5)<3$$
$$2x+1<3$$
$$2x<2$$
$$x<1.$$
Если $$x<-2{,}5,$$ то
$$-(x+2{,}5)-(-x+1{,}5)<3$$
$$-4<3,$$
что верно при всех таких $$x.$$
Итак,
$$x\in (-\infty;1).$$

6)

$$3x+8\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac{8}{3},\qquad 2x-7\ge 0 \Rightarrow x\ge 3{,}5$$
Если $$x\ge 3{,}5,$$ то
$$|3x+8|-|2x-7|>4$$
$$(3x+8)-(2x-7)>4$$
$$x+15>4$$
$$x>-11.$$
С учётом $$x\ge 3{,}5$$ получаем $$x\in [3{,}5;+\infty).$$

Если $$-\frac{8}{3}\le x<3{,}5,$$ то
$$(3x+8)-(-2x+7)>4$$
$$5x+1>4$$
$$5x>3$$
$$x>0{,}6.$$
С учётом $$-\frac{8}{3}\le x<3{,}5$$ получаем $$x\in (0{,}6;3{,}5).$$

Если $$x<-\frac{8}{3},$$ то
$$-(3x+8)-(-2x+7)>4$$
$$-x-15>4$$
$$-x>19$$
$$x<-19.$$
Итак,
$$x\in (-\infty;-19)\cup (0{,}6;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in [0{,}75;+\infty)$$; 2) $$x\in (-1{,}5;+\infty)$$; 3) $$x\in (-4;3)$$; 4) $$x\in \mathbb{R}$$; 5) $$x\in (-\infty;1)$$; 6) $$x\in (-\infty;-19)\cup (0{,}6;+\infty).$$