Упр.56 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$|x|+|x-6|=8$$;
2. $$|x+2|+|x-5|=7$$;
3. $$|x-1|-|x-7|=8$$;
4. $$|3x+1|-|x-4|=2x-3$$.

1) Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулем сохраняют знак.

Если $$x \ge 6,$$ то

$$|x|+|x-6|=x+(x-6)=8,$$

$$2x-6=8,$$

$$2x=14,$$

$$x=7.$$

Если $$0 \le x<6,$$ то

$$|x|+|x-6|=x-(x-6)=8,$$

$$6=8,$$

что невозможно.

Если $$x<0,$$ то

$$|x|+|x-6|=-x-(x-6)=8,$$

$$-2x+6=8,$$

$$-2x=2,$$

$$x=-1.$$

Ответ: $$-1;\ 7.$$

2) Если $$x \ge 5,$$ то

$$|x+2|+|x-5|=(x+2)+(x-5)=7,$$

$$2x-3=7,$$

$$2x=10,$$

$$x=5.$$

Если $$-2 \le x<5,$$ то

$$|x+2|+|x-5|=(x+2)-(x-5)=7,$$

$$7=7,$$

значит, подходят все $$x$$ из этого промежутка.

Если $$x<-2,$$ то

$$|x+2|+|x-5|=-(x+2)-(x-5)=7,$$

$$-2x+3=7,$$

$$-2x=4,$$

$$x=-2,$$

но это не подходит условию $$x<-2.$$

Ответ: $$x \in [-2;\,5].$$

3) Если $$x \ge 7,$$ то

$$|x-1|-|x-7|=(x-1)-(x-7)=8,$$

$$6=8,$$

что невозможно.

Если $$1 \le x<7,$$ то

$$|x-1|-|x-7|=(x-1)-(7-x)=8,$$

$$2x-8=8,$$

$$2x=16,$$

$$x=8,$$

но это не подходит условию $$x<7.$$

Если $$x<1,$$ то

$$|x-1|-|x-7|=-(x-1)-(7-x)=8,$$

$$-6=8,$$

что невозможно.

Ответ: корней нет.

4) Если $$x \ge 4,$$ то

$$|3x+1|-|x-4|=(3x+1)-(x-4)=2x-3,$$

$$2x+5=2x-3,$$

$$5=-3,$$

что невозможно.

Если $$-\frac13 \le x<4,$$ то

$$|3x+1|-|x-4|=(3x+1)+(x-4)=2x-3,$$

$$4x-3=2x-3,$$

$$2x=0,$$

$$x=0.$$

Если $$x<-\frac13,$$ то

$$|3x+1|-|x-4|=-(3x+1)+(x-4)=2x-3,$$

$$-2x-5=2x-3,$$

$$-4x=2,$$

$$x=-\frac12.$$

Ответ: $$-\frac12;\ 0.$$