Упр.56 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- $$|x|+|x-3|=4$$
- $$|x-2|+|x+3|=5$$
- $$|x|-|x-3|=4$$
- $$|2x-6|-|x+4|=4x+10$$
1) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 3,$$ то
$$x+(x-3)=4,$$
$$2x-3=4,$$
$$2x=7,$$
$$x=3{,}5.$$
Если $$0 \le x<3,$$ то
$$x-(x-3)=4,$$
$$3=4,$$
что неверно.
Если $$x<0,$$ то
$$-x-(x-3)=4,$$
$$-2x+3=4,$$
$$-2x=1,$$
$$x=-0{,}5.$$
Ответ: $$x=-0{,}5;\ 3{,}5.$$
2) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 2,$$ то
$$(x-2)+(x+3)=5,$$
$$2x+1=5,$$
$$2x=4,$$
$$x=2.$$
Если $$-3 \le x<2,$$ то
$$-(x-2)+(x+3)=5,$$
$$5=5,$$
то есть это верно при любом $$x$$ из данного промежутка.
Если $$x<-3,$$ то
$$-(x-2)-(x+3)=5,$$
$$-2x-1=5,$$
$$-2x=6,$$
$$x=-3,$$
но это не подходит условию $$x<-3.$$
Ответ: $$x \in [-3;2].$$
3) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 3,$$ то
$$|x|-|x-3|=x-(x-3)=3,$$
а нужно получить $$4.$$ Противоречие.
Если $$0 \le x<3,$$ то
$$|x|-|x-3|=x-(3-x)=2x-3,$$
$$2x-3=4,$$
$$2x=7,$$
$$x=3{,}5,$$
но это не подходит условию $$x<3.$$
Если $$x<0,$$ то
$$|x|-|x-3|=-x-(3-x)=-3,$$
а нужно $$4.$$ Противоречие.
Ответ: корней нет.
4) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 3,$$ то
$$|2x-6|-|x+4|=(2x-6)-(x+4)=4x+10,$$
$$x-10=4x+10,$$
$$-3x=20,$$
$$x=-\frac{20}{3},$$
но это не подходит условию $$x \ge 3.$$
Если $$-4 \le x<3,$$ то
$$|2x-6|-|x+4|=-(2x-6)-(x+4)=4x+10,$$
$$-3x+2=4x+10,$$
$$-7x=8,$$
$$x=-\frac{8}{7}.$$
Это значение подходит.
Если $$x<-4,$$ то
$$|2x-6|-|x+4|=-(2x-6)-(-(x+4))=4x+10,$$
$$-x+10=4x+10,$$
$$-5x=0,$$
$$x=0,$$
но это не подходит условию $$x<-4.$$
Ответ: $$x=-\frac{8}{7}.$$
