Упр.56 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$|x|+|x-4|=5$$; 2) $$|x+1|+|x-3|=4$$; 3) $$|x|-|x-5|=6$$; 4) $$|2x-3|-|x+2|=4x+5$$.
1) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 4,$$ то
$$x+(x-4)=5,$$
$$2x=9,$$
$$x=4{,}5.$$
Если $$0 \le x < 4,$$ то
$$x-(x-4)=5,$$
$$4=5,$$
что невозможно.
Если $$x < 0,$$ то
$$-x-(x-4)=5,$$
$$-2x+4=5,$$
$$-2x=1,$$
$$x=-0{,}5.$$
Ответ: $$-0{,}5;\ 4{,}5.$$
2) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 3,$$ то
$$|x+1|+|x-3|=(x+1)+(x-3)=4,$$
$$2x-2=4,$$
$$x=3.$$
Если $$-1 \le x < 3,$$ то
$$|x+1|+|x-3|=(x+1)-(x-3)=4,$$
это верно при любом $$x$$ из данного промежутка.
Если $$x < -1,$$ то
$$|x+1|+|x-3|=-(x+1)-(x-3)=4,$$
$$-2x+2=4,$$
$$x=-1,$$
но это не подходит к случаю $$x<-1.$$
Ответ: $$x \in [-1;\,3].$$
3) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 5,$$ то
$$|x|-|x-5|=x-(x-5)=5,$$
что не равно $$6.$$
Если $$0 \le x < 5,$$ то
$$|x|-|x-5|=x-(5-x)=2x-5,$$
$$2x-5=6,$$
$$x=5{,}5,$$
но это не подходит к условию $$x<5.$$
Если $$x < 0,$$ то
$$|x|-|x-5|=-x-(5-x)=-5,$$
что не равно $$6.$$
Ответ: корней нет.
4) Рассмотрим случаи.
Если $$x \ge 1{,}5,$$ то
$$|2x-3|-|x+2|=(2x-3)-(x+2)=4x+5,$$
$$x-5=4x+5,$$
$$-3x=10,$$
$$x=-\frac{10}{3},$$
но это не подходит к условию $$x \ge 1{,}5.$$
Если $$-2 \le x < 1{,}5,$$ то
$$|2x-3|-|x+2|=-(2x-3)-(x+2)=4x+5,$$
$$-3x+1=4x+5,$$
$$-7x=4,$$
$$x=-\frac{4}{7}.$$
Если $$x < -2,$$ то
$$|2x-3|-|x+2|=-(2x-3)+(x+2)=4x+5,$$
$$-x+5=4x+5,$$
$$-5x=0,$$
$$x=0,$$
но это не подходит к условию $$x<-2.$$
Ответ: $$-\frac{4}{7}.$$
