Упр.53 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$(x+6)(x-4)<0$$;
   2) $$(x+3)(x+10)\geq 0$$;
   3) $$\frac{x-6}{x-12}<0$$;
   4) $$\frac{5x-2}{x+11}>0$$;
   5) $$\frac{3x-15}{x}\leq 0$$;
   6) $$\frac{9x+6}{x-14}\geq 0$$.

1. $$\left(x+6\right)\left(x-4\right)<0$$

   Нули множителей: $$x=-6$$ и $$x=4$$. Произведение двух линейных множителей отрицательно между корнями.

   $$x\in(-6;4).$$

2. $$\left(x+3\right)\left(x+10\right)\ge 0$$

   Нули множителей: $$x=-10$$ и $$x=-3$$. Произведение неотрицательно вне промежутка между корнями, включая сами корни.

   $$x\in(-\infty;-10]\cup[-3;+\infty).$$

3. $$\frac{x-6}{x-12}<0$$

   Критические точки: $$x=6$$ и $$x=12$$, при этом $$x=12$$ не входит в область определения.

   Дробь отрицательна между нулями числителя и знаменателя:

   $$x\in(6;12).$$

4. $$\frac{5x-2}{x+11}>0$$

   Преобразуем числитель:

   $$5x-2=5\left(x-\frac25\right).$$

   Критические точки: $$x=-11$$ и $$x=\frac25$$. Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

   $$x\in(-\infty;-11)\cup\left(\frac25;+\infty\right).$$

5. $$\frac{3x-15}{x}\le 0$$

   Преобразуем:

   $$\frac{3(x-5)}{x}\le 0.$$

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=5$$, причём $$x=0$$ не входит в область определения.

   Решение:

   $$x\in(0;5].$$

6. $$\frac{9x+6}{x-14}\ge 0$$

   Преобразуем числитель:

   $$9x+6=3(3x+2).$$

   Критические точки: $$x=-\frac23$$ и $$x=14$$, причём $$x=14$$ не входит в область определения.

   Дробь неотрицательна вне промежутка между этими точками, включая нуль числителя:

   $$x\in\left(-\infty;-\frac23\right]\cup(14;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-6;4)$$;
2) $$(-\infty;-10]\cup[-3;+\infty)$$;
3) $$(6;12)$$;
4) $$(-\infty;-11)\cup\left(\frac25;+\infty\right)$$;
5) $$(0;5]$$;
6) $$\left(-\infty;-\frac23\right]\cup(14;+\infty)$$.