Упр.53 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. 1) $$(x+7)(x-1)\geq 0$$; 2) $$(x+2)(x+1)<0$$; 3) $$\frac{x+4}{x-4}<0$$; 4) $$\frac{x+9}{3x-9}>0$$; 5) $$\frac{7x-1}{x-10}\geq 0$$; 6) $$\frac{4x-8}{x+5}\leq 0$$.

1) $$\left(x+7\right)\left(x-1\right)\ge 0$$

Нули множителей: $$x=-7$$ и $$x=1$$.

Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

$$x\le -7 \text{ или } x\ge 1.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-7]\cup[1;+\infty).$$

2) $$\left(x+2\right)\left(x+1\right)<0$$

Нули множителей: $$x=-2$$ и $$x=-1$$.

Произведение отрицательно между корнями:

$$-2<x<-1.$$

Ответ: $$x\in(-2;-1).$$

3) $$\frac{x+4}{x-4}<0$$

ОДЗ: $$x\ne 4.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$-4<x<4.$$

Ответ: $$x\in(-4;4).$$

4) $$\frac{x+9}{3x-9}>0$$

ОДЗ: $$x\ne 3.$$

Преобразуем знаменатель:

$$\frac{x+9}{3(x-3)}>0.$$

Так как $$3>0,$$ получаем равносильное неравенство:

$$\frac{x+9}{x-3}>0.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x<-9 \text{ или } x>3.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-9)\cup(3;+\infty).$$

5) $$\frac{7x-1}{x-10}\ge 0$$

ОДЗ: $$x\ne 10.$$

Преобразуем числитель:

$$\frac{7\left(x-\frac17\right)}{x-10}\ge 0.$$

Так как $$7>0,$$ имеем:

$$\frac{x-\frac17}{x-10}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=\frac17$$ и $$x=10.$$

Дробь неотрицательна вне промежутка между ними, причём точка $$x=\frac17$$ входит в решение:

$$x\le \frac17 \text{ или } x>10.$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;\frac17\right]\cup(10;+\infty).$$

6) $$\frac{4x-8}{x+5}\le 0$$

ОДЗ: $$x\ne -5.$$

Преобразуем числитель:

$$\frac{4(x-2)}{x+5}\le 0.$$

Так как $$4>0,$$ получаем:

$$\frac{x-2}{x+5}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-5$$ и $$x=2.$$

Дробь неположительна на промежутке между ними, причём точка $$x=2$$ входит в решение:

$$-5<x\le 2.$$

Ответ: $$x\in(-5;2].$$