Упр.53 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решить неравенство:
   1) $$(x+2)(x-8)\leq 0$$;
   2) $$(x-3)(x-7)>0$$;
   3) $$\frac{x-9}{x}>0$$;
   4) $$\frac{3x-1}{x+2}<0$$;
   5) $$\frac{2x-8}{x-5}\leq 0$$;
   6) $$\frac{6x+2}{x-8}\geq 0$$.

1) $$\left(x+2\right)\left(x-8\right)\le 0$$

Нули множителей: $$x=-2$$ и $$x=8$$. Произведение двух линейных множителей не положительно между корнями, включая сами корни:

$$x\in[-2;8].$$

2) $$\left(x-3\right)\left(x-7\right)>0$$

Произведение положительно вне промежутка между корнями:

$$x<3 \text{ или } x>7.$$

$$x\in(-\infty;3)\cup(7;+\infty).$$

3) $$\frac{x-9}{x}>0$$

ОДЗ: $$x\ne 0.$$ Критические точки: $$x=0$$ и $$x=9.$$ Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$x<0 \text{ или } x>9.$$

$$x\in(-\infty;0)\cup(9;+\infty).$$

4) $$\frac{3x-1}{x+2}<0$$

Преобразуем числитель:

$$\frac{3\left(x-\frac13\right)}{x+2}<0.$$

Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=\frac13.$$ Дробь отрицательна между ними:

$$x\in\left(-2;\frac13\right).$$

5) $$\frac{2x-8}{x-5}\le 0$$

Преобразуем:

$$\frac{2(x-4)}{x-5}\le 0.$$

Критические точки: $$x=4$$ и $$x=5.$$ Дробь неположительна на отрезке между ними, причём точка $$x=4$$ входит, а $$x=5$$ не входит:

$$x\in[4;5).$$

6) $$\frac{6x+2}{x-8}\ge 0$$

Преобразуем:

$$\frac{6\left(x+\frac13\right)}{x-8}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac13$$ и $$x=8.$$ Дробь неотрицательна вне промежутка между ними, причём $$x=-\frac13$$ входит, а $$x=8$$ не входит:

$$x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup(8;+\infty).$$

Ответ

1) $$[-2;8]$$; 2) $$(-\infty;3)\cup(7;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;0)\cup(9;+\infty)$$; 4) $$\left(-2;\frac13\right)$$; 5) $$[4;5)$$; 6) $$\left(-\infty;-\frac13\right]\cup(8;+\infty)$$.