Контрольная работа 5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите шестнадцатый член и сумму тридцати первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_1=10$$ и $$a_2=6$$.
- Найдите шестой член и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1=-64$$, а знаменатель $$q=\frac{1}{2}$$.
- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$-125,\ 25,\ -5,\ \ldots$$.
- Найдите номер члена арифметической прогрессии $$(a_n)$$, равного $$10{,}9$$, если $$a_1=8{,}5$$, а разность прогрессии $$d=0{,}3$$.
- Какие два числа надо вставить между числами $$2$$ и $$-54$$, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
- При каком значении $$x$$ значения выражений $$x+1$$, $$x+5$$ и $$2x+4$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
- Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$8$$, которые больше $$50$$ и меньше $$180$$.
1) Для арифметической прогрессии $$a_1=10,\ a_2=6$$ находим разность:
$$d=a_2-a_1=6-10=-4.$$
Тогда
$$a_{16}=a_1+d(16-1)=10-4\cdot 15=10-60=-50.$$
Сумма первых 30 членов:
$$S_{30}=\frac{2a_1+d(30-1)}{2}\cdot 30=\frac{2\cdot 10+(-4)\cdot 29}{2}\cdot 30$$
$$S_{30}=\frac{20-116}{2}\cdot 30=\frac{-96}{2}\cdot 30=-48\cdot 30=-1440.$$
2) Для геометрической прогрессии $$b_1=-64,\ q=\frac12$$:
$$b_6=b_1q^{6-1}=-64\left(\frac12\right)^5=-64\cdot \frac1{32}=-2.$$
Сумма первых 5 членов:
$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{-64\left(\left(\frac12\right)^5-1\right)}{\frac12-1}$$
$$S_5=\frac{-64\left(\frac1{32}-1\right)}{-\frac12}=\frac{-64\cdot \left(-\frac{31}{32}\right)}{-\frac12}=-124.$$
3) Для бесконечной геометрической прогрессии $$-125,\ 25,\ -5,\ldots$$ имеем:
$$q=\frac{25}{-125}=-\frac15.$$
Так как $$|q|<1,$$ сумма существует и равна
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-125}{1-(-\frac15)}=\frac{-125}{\frac65}=-\frac{625}{6}=-104\frac16.$$
4) Для арифметической прогрессии $$a_1=8{,}5,\ d=0{,}3$$:
$$a_n=a_1+d(n-1)=8{,}5+0{,}3(n-1)=8{,}2+0{,}3n.$$
По условию $$a_n=10{,}9,$$ значит
$$8{,}2+0{,}3n=10{,}9,$$
$$0{,}3n=2{,}7,$$
$$n=9.$$
5) Пусть между числами $$2$$ и $$-54$$ нужно вставить два числа $$x$$ и $$y$$. Тогда получится геометрическая прогрессия
$$2,\ x,\ y,\ -54.$$
Пусть её знаменатель равен $$q$$. Тогда
$$-54=2q^3,$$
$$q^3=-27,$$
$$q=-3.$$
Следовательно,
$$x=2\cdot (-3)=-6,\qquad y=-6\cdot (-3)=18.$$
6) Пусть числа $$x+1,\ x+5,\ 2x+4$$ — последовательные члены геометрической прогрессии. Тогда
$$(x+5)^2=(x+1)(2x+4).$$
Раскроем скобки:
$$x^2+10x+25=2x^2+6x+4,$$
$$x^2-4x-21=0.$$
$$D=16+84=100,$$
$$x=\frac{4\pm 10}{2}.$$
Получаем:
$$x=-3 \quad \text{или} \quad x=7.$$
Если $$x=-3,$$ то члены прогрессии:
$$-2,\ 2,\ -2.$$
Если $$x=7,$$ то члены прогрессии:
$$8,\ 12,\ 18.$$
7) Все натуральные числа, кратные 8, образуют арифметическую прогрессию:
$$8,\ 16,\ 24,\ldots$$
Первое число, большее 50, равно $$56,$$ последнее число, меньшее 180, равно $$176.$$
Это члены прогрессии с номерами $$7$$ и $$22,$$ поэтому их количество:
$$22-7+1=16.$$
Сумма:
$$S=\frac{56+176}{2}\cdot 16=116\cdot 16=1856.$$
Ответ: 1) $$a_{16}=-50,\ S_{30}=-1440$$; 2) $$b_6=-2,\ S_5=-124$$; 3) $$-\frac{625}{6}$$; 4) $$9$$; 5) $$-6,\ 18$$; 6) $$x=-3$$ или $$x=7$$, прогрессии $$-2,\ 2,\ -2$$ и $$8,\ 12,\ 18$$; 7) $$1856$$.
