Контрольная работа 5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите четырнадцатый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_1=2$$ и $$a_2=5$$.
- Найдите пятый член и сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1=27$$, а знаменатель $$q=\frac{1}{3}$$.
- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$28,\ -14,\ 7,\ \ldots$$.
- Найдите номер члена арифметической прогрессии $$(a_n)$$, равного $$7{,}3$$, если $$a_1=10{,}3$$, а разность прогрессии $$d=-0{,}5$$.
- Какие два числа надо вставить между числами $$2{,}5$$ и $$20$$, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?
- При каком значении $$x$$ значения выражений $$2x+6$$, $$x+7$$ и $$x+4$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
- Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных $$6$$, которые больше $$100$$ и меньше $$200$$.
1) $$d=a_2-a_1=5-2=3.$$
Тогда
$$a_n=a_1+d(n-1)=2+3(n-1)=3n-1.$$
$$a_{14}=3\cdot 14-1=41.$$
Сумма первых $$20$$ членов:
$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20=\frac{2\cdot 2+3\cdot 19}{2}\cdot 20=\frac{61}{2}\cdot 20=610.$$
2) Для геометрической прогрессии
$$b_5=b_1q^{4}=27\cdot \left(\frac13\right)^4=27\cdot \frac1{81}=\frac13.$$
Сумма первых четырёх членов:
$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{27\left(\left(\frac13\right)^4-1\right)}{\frac13-1}=40.$$
3) Найдём знаменатель прогрессии:
$$q=\frac{-14}{28}=-\frac12.$$
Так как $$|q|<1,$$ сумма бесконечной геометрической прогрессии равна
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{28}{1-(-\frac12)}=\frac{28}{\frac32}=\frac{56}{3}=18\frac23.$$
4) Используем формулу арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+d(n-1)=10{,}3-0{,}5(n-1)=10{,}8-0{,}5n.$$
По условию
$$10{,}8-0{,}5n=7{,}3,$$
$$0{,}5n=3{,}5,$$
$$n=7.$$
5) Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$2{,}5;\ x;\ y;\ 20.$$ Тогда
$$20=2{,}5\cdot q^3,$$
$$q^3=\frac{20}{2{,}5}=8,$$
$$q=2.$$
Следовательно,
$$x=2{,}5\cdot 2=5,\qquad y=5\cdot 2=10.$$
6) Для последовательных членов геометрической прогрессии выполняется условие
$$b_2^2=b_1b_3.$$
Получаем
$$\left(x+7\right)^2=\left(2x+6\right)\left(x+4\right),$$
$$x^2+14x+49=2x^2+14x+24,$$
$$x^2=25,$$
$$x=\pm 5.$$
Если $$x=-5,$$ то
$$2x+6=-4,\quad x+7=2,\quad x+4=-1.$$
Если $$x=5,$$ то
$$2x+6=16,\quad x+7=12,\quad x+4=9.$$
7) Кратные $$6$$ числа от $$100$$ до $$200$$ образуют арифметическую прогрессию:
$$102,\ 108,\ 114,\ \ldots,\ 198.$$
Первый член: $$a_1=102,$$ последний: $$a_{17}=198,$$ так как
$$102=6\cdot 17,\qquad 198=6\cdot 33.$$
Количество членов:
$$n=33-17+1=17.$$
Сумма:
$$S=\frac{a_1+a_{17}}{2}\cdot n=\frac{102+198}{2}\cdot 17=150\cdot 17=2550.$$
Ответ
1) $$a_{14}=41,$$ $$S_{20}=610.$$
2) $$b_5=\frac13,$$ $$S_4=40.$$
3) $$18\frac23.$$
4) $$7.$$
5) $$5$$ и $$10.$$
6) $$x=-5$$ или $$x=5$$; соответствующие прогрессии: $$-4,\ 2,\ -1$$ и $$16,\ 12,\ 9.$$
7) $$2550.$$
